Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
ние (3.146), сравнивая коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях и выписывая условия совместности получающихся алгебраических уравнений для коэффициентов Фурье, приходим к некоторым детерминантным уравнениям, связывающим 6 и є для граничных кривых *).
В случае малого е, что часто встречается, эти кривые могут быть определены проще [25J. Представим в уравнении (3.146) <7 и 6 в виде степенных рядов, расположенных по степеням є
<7 = Уо + ЄУі + е2У2 + • • • ) /'4 147'*
6 = 60 + 8^+8?+.../
*) Этот вопрос подробно освещен в [15].
190
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. III
Здесь постоянные Ьк и функции yk (X) должны быть определены так, чтобы функция q(x) была решением уравнения (3.146) с периодом 2я или 4л и притом таким., которое сводилось бы к cosnx/2 или sin/ix/2 при е->0 (я — 0, 1, 2, . . .). Подставляя разложения (3.147) в уравнение (3.146) и сравнивая между собой коэффициенты при одинаковых степенях є, подобно тому, как это в свое время было показано для метода Линдстедта (стр. 144—145), получаем систему уравнений:
Уо+6оУо =
К+ Vi =
УІ + \У2 —
о,
W -*2^0'
- y0cos X,
6хУі — S1COS X,
(3.148)
При этом каждая функция yk (х), как указывалось выше, должна иметь период 2я или 4я. Тогда первое уравнение системы (3.148) даст нам для 60 следующее значение:
где я = О, 1, 2, ... Из того же уравнения для у0 получаем: У0 =COS -тр или у0 = sin.
При я = О, 60 = 0, у„=1; второе уравнение дает у" = — 6Х — cos х,
откуда, вследствие периодичности ^1, параметр S1 должен быть равен нулю, тогда
^1 = Cos х + С.
Третье уравнение дает
у\ = — ----j — Ccosx — "Jcos 2аг.
Для периодичности у2 должно быть б2 = — -j . Итак, получено приближенное уравнение первой граничной кривой
...
§ 5] УРАВНЕНИЯ с периодическими коэффициентами
191
Аналогично поступаем для я—1, 2 и т. д. Избавляясь всякий раз от непериодических членов и ограничиваясь малыми второго порядка малости, получим приближенные уравнения граничных кривых:
1) S = -Ie*.
2)6=1-1е,
3) ^ - 4"+ 2" е>
4) 6=1+АБ2,
5) 6=1—^e2,
При малых значениях є границы областей неустойчивости, определяемые по написанным уравнениям, хорошо совпадают с точными границами, вычисленными с помощью разложения решения в тригонометрические ряды. Вообще уравнения этих границ выражаются посредством так называемых функций Матьё [17].
На рис. 92 представлена карта устойчивости, построенная по такому же принципу, как и в предыдущем случае. Сплошные кривые соответствуют периодическому решению с периодом 2я, а пунктирные — решению с периодом 4я. Устойчивые области заштрихованы.
В заключение сделаем оценку ширины первой области неустойчивости. Пусть имеем уравнение
q~\- k2 (I -J- M- coscof) <7— 0.
Полагая
х = cof, 6ц = е,
имеем
t5 \ AM
Л \
1 2 / -?5 JMl Щ у jj
Рис. 92.
q" -J- (6 -J- є cos х) q = 0.
192
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. III
Граничные значения 6 можно записать так:
Иначе говоря,
k ,Г 1-І 1 „
C0- У 4 + 2 є ~ 2 +
откуда приближенно
<0 = 2k (1 + є).
Итак, при e—v О частота критического возбуждения стремится к удвоенной собственной частоте системы.
Д. Влияние сопротивления на колебания системы с периодически изменяющейся жесткостью
Ограничимся случаем линейного сопротивления и рассмотрим систему, описываемую уравнением типа Матьё с демпфирующим членом:
2?'-|-(6є cos л:) <7 = 0, (3.149)
где, как и ранее, x = at.
Будем искать решение этого уравнения в виде произведения двух функций
q (X) = U(X)V (х). (3.150)
Производя дифференцирование и подставляя в (3.149), мы получим некоторое уравнение с двумя зависимыми переменными— и(х) и v(x). Потребуем, чтобы в этом уравнении не было членов с первой производной и (х), т. е. чтобы коэффициент при и'(х) равнялся нулю:
Vr -I-C1W = 0.
Решение этого уравнения имеет вид
V(X) = Ce-I*. (3.151)
Тогда для и(х) остается уравнение
«" + (б — ?2 -|-е cos х) и = 0. (3.152)
Иначе говоря, имеем снова уравнение Матьё, в котором вместо б стоит
6* = б —?2. (3.153)
§ 5) УРАВНЕНИЯ с ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
193
Будем искать решение (3.133) уравнения(3.152) ввиде(ЗЛЗЗ) и (х) = екх(р(х), где h находится по формуле (3.135)
h = ~ In S1
2л
причем s есть корень определяющего уравнения (3.132). Теперь, учитывая уравнение (3.138), можно написать решение (3.150) в следующем виде:
Qj = СХ (cos VjX -f- / Sin VjJC) фу (х), (3.154)
где
Ii7 = ^rlnIsyI, Vy = -^argsy,
причем Vj может быть в частном случае равным нулю или л (в случае вещественных корней определяющего уравнения). Пусть [I1 > Iji2; тогда при
?> Mi
решение получается ограниченным, т. е. областей неустойчивости нет. Вообще же, если ? < M1, эти области суживаются по сравнению с областями неустойчивости системы без демпфирования вследствие наличия в решении (3.154) убывающей экспоненциальной функции е^Г^х .
При наличии затухания возможны также установившиеся периодические движения, получающиеся на границах областей устойчивости и неустойчивости. Применим метод Рэлея для отыскания этих движений [28J. Этот же метод может быть применим и к случаю отсутствия затухания; при этом он позволяет найти граничные кривые с любой степенью точности. Итак, возвращаемся к уравнению (3.149):
