Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
186
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. III
случае, мы можем лишь утверждать, что одно решение из двух периодично. Если s = то, например,
F1 (X) = (J0Cp1 (х + 2я) = Фі (X) = Z1 (X),
т. е. период решения равен 2я. Если же s = — 1, то
F1 (X) = ег'яф1 (х + 2и) = — ф! (X) = — Zi О)
и, следовательно, для возвращения к значению плюс Zi (х) переменная х должна получить приращение еще на 2я. Таким образом, период’ оказывается равным 4я. Заметим, что при возвращении к переменной t период будет соответственно равным т и 2т.
Если в уравнении (3.125) из совокупности параметров, от которых оно зависит, выбрать два и отложить их по осям прямоугольной системы координат, то таким образом в этой плоскости параметров можно построить области динамической устойчивости и неустойчивости. Границы этих областей определяются равенством
И| = 1.
На границе областей, т. е. в переходном случае корни уравнения (3.130) кратные, а поэтому поведение системы требует особого исследования *). Здесь заранее можно утверждать лишь то, что одно из двух решений периодично с периодом 2я или 4я.
Интересно отметить, что два решения одинакового периода ограничивают область неустойчивости, а два решения разных периодов — область устойчивости. В самом деле, допустим, например, что в интервале между S—1 и s= — 1 лежит область неустойчивости, и, следовательно, корни уравнения (3.130) вещественные. Ho тогда при перемещении от одной границы к другой, вследствие непрерывности корней, один из них должен обратиться в 0, а тогда другой неизбежно будет равен бесконечности, что невозможно. Следовательно, между границами с разными периодами должна лежать область устойчивости, что и требовалось доказать.
В последующих двух разделах указанное построение областей будет показано для двух наиболее часто встречающихся вариантов уравнения Хилла.
*) Как правило, эти границы относятся к неустойчивым областям P5].
§ 5] УРАВНЕНИЯ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
187
В. Уравнение Мейснера
У'Кт/
В ранний период строительства и эксплуатации транспортных электровозов последние снабжались спарниками, которые порождали периодически изменяющуюся жесткость ведущей системы, что приводило часто к интенсивным колебаниям. Этот вопрос (см., например, [10], [28]) был подробно исследован швейцарским профессором Мейснером, который для описания явления получил дифференциальное уравнение угла поворота кривошипа с периодическим коэффициентом, причем жесткость системы он аппроксимировал ступенчатой
характеристикой (рис. 90). Согласно этой характеристике функция W(X) в уравнении (3.125) имеет следующие зна-
L
о
л
2л Зл 4л Рис. 90.
5л
чения:
W (х) — б -(- е, vF (х) = б — е,
если
если
0 < X < л, я < X < 2л,
(3.139)
где 6 и є — положительные величины. Уравнение движения
принимает вид
<7 + (б ± є) <7 — 0.
(3.140)
Здесь величина є характеризует собой глубину пульсации. Введем обозначения
nx = Y
I=Vd-
У V — Є. (3.141)
Тогда за первую половину периода (0 < х < я) движение описывается уравнением
q+n\q = 0
и за вторую половину периода — уравнением
<7 + л|<7 = 0.
Соответствующие решения имеют вид
Q1 = C1 sin пгх -f- C2 cos /I1X, q2 = C3 sin п2х -j- C4 cos п2х
:)
(3.142)
188
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. III
Условия на границе двух полупериодов и в конце всего периода могут быть записаны так:
= (?*>*-«• I (3л43)
(Ъ)Х=2Я = s(Qi)x=o> (?2),=^ = ^2),=0. J
Подставляя в уравнение (3.143) значения Q1 и q2 из (3.142) при соответствующих значениях аргумента х и перенося все члены в одну сторону, получим для определения C1, C2, C3, C4 четыре однородных уравнения. Эти уравнения могут дать отличные от нуля решения для C1, C2, C3, C4 только в том случае, если определитель системы будет равен нулю.
в 7
5 4 3
г /
-4 -3 -2 -/ О J 2 3 4 5 В 7
---^S
Рис. 91.
Составляя этот определитель, после несложных преобразований получим определяющее уравнение
52_2Л5+1 =0,
где
ni ~h п2
/I = CosmlCosm2-------—sin JW1Sin ллг. (3.144)
§ 5] УРАВНЕНИЯ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
189
Воспользуемся теперь общими рассуждениями предыдущего раздела. Вспоминая значения я, и п2 из формул (3.141), мы можем построить граничные кривые
Л (6, е) = ±1. (3.145)
Это сделано на рис. 91, где сплошные кривые соответствуют значению Л = -)- 1, а пунктирные — Л = — 1. Области устойчивости заштрихованы. Полученная диаграмма иногда называется картой устойчивости.
Г. Уравнение Матьё
Другим важным вариантом уравнения Хилла является уравнение Матьё, подробно исследованное еще в прошлом столетии и впервые примененное в теории упругих колебаний Н. М. Беляевым в 20-х годах нашего века. При выбранном ранее безразмерном аргументе это уравнение имеет вид:
<7" + (6+ 8 cos х) <7 = 0. (3.146)
Здесь глубина пульсации характеризуется также величиной е.
Исследование уравнения (3.146) труднее, чем уравнения Мейснера. Построение граничных кривых основано на том, что на этих кривых, как мы уже знаем, имеет место периодическое решение с периодом 2я или 4я. Представляя решение в виде ряда Фурье, который подставляется в уравне-
