Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
f (X) = IJ1 (X) + W2(X). (3.129)
То же мы можем написать для F* (х):
Ft (X) = I1F1 (X) +I2F2(X). ¦
Подставляя в уравнение (3.128) написанные соотношения, далее выражая F1(X) и F2(X) через Z1(X) и f2(x) по формулам (3.127) и перенося все члены в одну сторону, после соответствующей группировки имеем
№i («11 — s) + Х2а21] /i (X) + [Хха12 + I2 (а22 — s)] /2 (х) = 0.
Полученное соотношение должно удовлетворяться при любом х. Так как Z1(X) и f2(x) линейно независимы, то выражение в каждой квадратной скобке должно равняться нулю:
(Дц — s) -f- а21Х2 = 0,
U12X1 + (д22 s) X2 = 0.
Эти два однородных относительно и X2 алгебраических уравнения удовлетворяются ненулевыми решениями и X2
§ 5] УРАВНЕНИЯ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
183
лишь в том случае, когда определитель системы равен нулю
A(S):
= 0,
“12 **22 — '
или в развернутом виде
S2 — (аП -f- а22) s -f- (#ц#22 — ачiai2) = 0- (3.130)
Два корня S1 и S2 этого определяющего у равнения дают нам две системы значений ^1 и X2 *)• Тогда, согласно соотношениям (3.129), (3.128), имеем соответственно:
/; (X) = Wfl (X)+Wf2(X). K(X) = Wfl (X) + Wf2(X),
Fl (х) = sj/t (х),
Fl (х) = S2/2 (х).
Допустим, что начальные условия таковы:
Z1(O) = I1 Z2(O) = O1 z;(0) = 0, Zi(O) = I.
Тогда, полагая в уравнениях (3.127) х = 0, имеем
ап = Zi (2л), a21 = Z2 (2я)-
Дифференцируя уравнения (3.127) по х и снова полагая х = 0, найдем
а12 = f’l (2я)- а22 = /1' (2я)-
Вследствие полученных значений коэффициентов свободный член в уравнении (3.130) будет равен
Z1 (2я) Z2 (2я) — Z2 (2я) Z1' (2я).
С другой стороны, поскольку Zi (х) и /2(л') являются решениями уравнения (3.125), можно написать
І"\ (х) Ч~ 1Jf (х) Z1 W = O,
П(х)-\-Ч (х) Z2(X) = 0.
*) Точнее, к двум отношениям X1 и X2l так как при умноже-
нии X1 и X2 на одно и то же число, на то же число умножится /* (л:), Т. е. принципиально нового решения не получается.
184
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. III
Умножая первое из этих уравнений на /2 (х), а второе — на Z1 (х), вычитая и интегрируя, получим
Z1 (х) Z2 W — /2 (X) f[ (X) = const.
Подставляя сюда дг = 0, находим, что постоянная равна единице, следовательно, и свободный член в уравнении (3.130) также равен единице
A (X)/'(x)-f2(x)f; (X) =L
Обозначая
А = 1[/1(2я) + /'(2я)]. (3.131)
получаем определяющее уравнение в следующем виде:
S2 — 2Л5+1=0. (3.132)
После этих предварительных рассуждений ищем решение уравнения (3.125) в виде
q = /* (X) = ehx<$ (х). (3.133)
где ф (х) — периодическая функция с периодом 2я, a h — некоторая подлежащая определению постоянная, которая может быть действительной, мнимой или вообще комплексной величиной. Увеличивая аргумент х на период 2л, имеем
f (х + 2я) = s/* (X) — е^+гяіф (д. _|_ 2я) =
_ gWighXy (д.) _ егяЛу» (Jf)i
Так как у нас два фундаментальных нормальных решения /\(х) и /*2(х), которым соответствуют корни квадратного
уравнения (3.132) так, что
F) (X) = Sjfj (х),
где J = 1, 2, то имеем также два значения h: Zz1 и A2. Из сказанного следует, что
Sj=e2atli, (3.134)
откуда обратно
hJ = -5Гlns/- <3л35^
Полагая вообще
h! = My -f /Vj,-, (3.136)
§ 6] УРАВНЕНИЯ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
185
где I = У —1, и учитывая, что в общем случае InSy = ln|sy| +/argsy,
имеем
і lnN' v;=it ar^-
(3.137)
При вещественном Sj соответствующее Vj равно нулю. Если же корни S1 и S2 комплексные, то они непременно попарно сопряженные, и тогда V1 и V2 различаются только знаком.
Согласно выражению hj (3.136), решение (3.133) можно переписать так:
<7;- = e]lf (cos VjX -+- і sin VjX) cpj (x). (3.138)
Исследуем характер движения в зависимости от коэффициента А или, лучше сказать, его модуля \А\. При этом примем во внимание, что произведение модулей корней
Nk2I = і.
1) \А\ > 1. Корни вещественные (V1=V2TtO)1 причем один из них (например, S1) численно больше единицы; тогда Ji1 > 0 и решение Q1 будет расходящееся. Хотя при этом |s2| < 1 и (I2 < 0 и решение <72 есть сходящееся, тем не менее система динамически неустойчива, так как полное решение вообще есть линейная комбинация ql и q2.
2) IA j < 1. Корни комплексные сопряженные^ =— V2). Так как модули двух сопряженных величин между собой равны, то в данном случае каждый из них равен единице; тогда (X1 = Ii2 = O. Оба решения q1 и q2 ограниченные, а поэтому система динамически устойчива. Система совершает колебательные движения с ограниченной амплитудой. Что касается вопроса о периодичности решения, то, как видно из уравнения (3.138), <7у периодично, если Vj есть рациональное число. Полное решение является периодическим, если V1 и V2 являются оба рациональными числами. Это следует непосредственно из формулы (3.129), определяющей общее решение.
3) \А \ = I. В этом случае имеем два одинаковых веще-
ственных корня, численно равных единице. При этом возможны комбинации: a) S1 = S2 = -I-I; б) S1 = S2 = —1.
He задаваясь построением общего решения в этом переходном
