Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Г. Вынужденные колебания с сухим трением
Влияние сухого трения на свободные колебания систем было рассмотрено выше (стр. 122). Тогда же было получено дифференциальное уравнение колебаний (3.39), а именно:
<7 + &2 (<7 jTr sgn q) = 0,
где k — частота собственных колебаний линейной системы, а постоянная г выражается через обобщенную силу сухого трения Ь* следующим образом:
6*
176
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. III
Предположим теперь, что восстанавливающая сила остается линейной, но вводится еще возмущение, действующее по гармоническому закону:
Q = H Sindit
или, если отнести возмущающую силу к единице коэффициента инерции:
— = h sin at = k2 d sin cat, а
где согласно формуле (2.130)
,H h
есть статическое смещение системы под действием силы Н. Итак, имеем уравнение
q-{-k2q — k2(d sinatf—г sgn q). (3.119)
Исследование движения, описываемого этим уравнением, представляет большие практические трудности. В самом деле, наиболее естественный путь — это интегрирование уравнения по отдельным этапам в зависимости от направления движения с припасовыванием решений в конце одного интервала и в начале следующего. Так мы поступали при исследовании свободных колебаний. Здесь дело осложняется наличием
переменной внешней синусоидальной силы и возможностью
вследствие этого остановок конечной продолжительности
или пауз, в течение которых сила трения уже не постоянна.
Правда, в это время движение отсутствует, но становится
громоздким определение моментов остановок и постоянных интеграции.
He вдаваясь в утомительные подробности, наметим все же основные вехи этого метода, разработанного впервые Эккольтом.
Рис' ’ Пусть в начальный момент при
t — 0,q~0, 4> = 0, и возмущающая сила начинает толкать изображающую точку M0 слева направо (рис. 87). Тогда, по достижении этой силой некоторого значения, точка начнет двигаться вправо, при этом q > 0, sgn <7 = 4-1. Уравнение примет вид
q~\-k2q — k2 (d sin ®t — г).
<7, M
О
§ 4] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 177
Движение начнется в тот момент ^0, когда будет выполняться равенство
^slncitf0 = г.
В дальнейшем для упрощения считаем, что коэффициенты трения покоя и движения равны между собой (г = T0). Обозначая Kit0 = 6, можно написать
<7 -(- k?q = k2 [d sin (at -j- 6) — г],
что даст нам возможность отсчитывать время t от начала движения тела. На рис. 88 кривая А дает закон изменения
Рис. 88.
возмущающей силы; в измененном масштабе это есть of sin (сог1 4~6). Кривая В определяет закон движения.
Допустим, что в момент времени точка достигла наибольшего отклонения и остановилась; в этот момент (точнее говоря, непосредственно перед этим моментом) q < 0. Для того чтобы движение началось в обратную сторону, это
неравенство должно сохраниться. После остановки сила трения меняет свое направление. В этом случае имеем q = U1 [d sin (a>t -j- 6) 4- г — q].
Движение будет продолжаться без паузы, если в момент tx мгновенной остановки удовлетворяется неравенство d sin (Gtf1 + 6) -f г — ^max < 0.
Если же этого нет, то наступает пауза до момента вре-
мени t2, когда, вследствие убывания синуса, будет
d sin (о)/2 -f- 6) + г — qttVdX < 0,
что и показано на рисунке. Величины и ^max подлежат
определению на основании решения дифференциального
А. Н. Обморшев'
178
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. III
уравнения и определения постоянных интеграции по начальным условиям. Этот процесс может быть продолжен и далее, что дает точное, но громоздкое решение задачи.
В практических случаях вполне возможно отказаться от точного решения задачи и ограничиться получением общей оценки амплитуды вынужденных колебаний. Такое приближенное решение было указано Ден-Гартогом, который предложил эквивалентную линеаризацию системы [10]. Сухое трение заменяется вязким сопротивлением, дающим за четверть периода эквивалентное рассеяние энергии. При этом предполагается, что трение вообще мало и собственные колебания отсутствуют.
Итак, параллельно с уравнением, описывающим поведение нелинейной системы (назовем ее системой I):
рассмотрим уравнение, описывающее поведение линейной системы (назовем ее системой II):
<7 -f- 2nq -f- kP-q = k? d sin at.
Пренебрегая для упрощения несущественным в данном случае сдвигом фаз, полагаем, что движение происходит по закону
Найдем рассеяние энергии, отнесенной к единице инерционного коэффициента, в системе I за четверть периода:
<7 -f- k2r sgn <7 4- k2q = k2 d sin at,
T
T
т
4
J k2rq dt ~ k2ra*a J cosat dt = k2ra*.
о
о
Рассеяние энергии в системе II за тот же промежуток времени будет
§ 4] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 17§
Приравнивая друг другу значения W1 и Wn, находим величину эквивалентного коэффициента затухания:
2^r (3.120)
ясоа*
и соответственно эквивалентного коэффициента сопротивления:
46*
Ь = -^-ї- (3.121)
ясоа* 4 '
Амплитуда а* вынужденных колебаний равна а* == Ы,
где Я—коэффициент динамичности, определяемый по формуле (2.128):