Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Обморшев А.Н. -> "Введение в теорию колебаний " -> 44

Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.

Обморшев А.Н. Введение в теорию колебаний — Москва, 2000. — 278 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriukolebaniy2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 72 >> Следующая


Г. Вынужденные колебания с сухим трением

Влияние сухого трения на свободные колебания систем было рассмотрено выше (стр. 122). Тогда же было получено дифференциальное уравнение колебаний (3.39), а именно:

<7 + &2 (<7 jTr sgn q) = 0,

где k — частота собственных колебаний линейной системы, а постоянная г выражается через обобщенную силу сухого трения Ь* следующим образом:

6*
176

НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

[ГЛ. III

Предположим теперь, что восстанавливающая сила остается линейной, но вводится еще возмущение, действующее по гармоническому закону:

Q = H Sindit

или, если отнести возмущающую силу к единице коэффициента инерции:

— = h sin at = k2 d sin cat, а

где согласно формуле (2.130)

,H h

есть статическое смещение системы под действием силы Н. Итак, имеем уравнение

q-{-k2q — k2(d sinatf—г sgn q). (3.119)

Исследование движения, описываемого этим уравнением, представляет большие практические трудности. В самом деле, наиболее естественный путь — это интегрирование уравнения по отдельным этапам в зависимости от направления движения с припасовыванием решений в конце одного интервала и в начале следующего. Так мы поступали при исследовании свободных колебаний. Здесь дело осложняется наличием

переменной внешней синусоидальной силы и возможностью

вследствие этого остановок конечной продолжительности

или пауз, в течение которых сила трения уже не постоянна.

Правда, в это время движение отсутствует, но становится

громоздким определение моментов остановок и постоянных интеграции.

He вдаваясь в утомительные подробности, наметим все же основные вехи этого метода, разработанного впервые Эккольтом.

Рис' ’ Пусть в начальный момент при

t — 0,q~0, 4> = 0, и возмущающая сила начинает толкать изображающую точку M0 слева направо (рис. 87). Тогда, по достижении этой силой некоторого значения, точка начнет двигаться вправо, при этом q > 0, sgn <7 = 4-1. Уравнение примет вид

q~\-k2q — k2 (d sin ®t — г).

<7, M
О
§ 4] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 177

Движение начнется в тот момент ^0, когда будет выполняться равенство

^slncitf0 = г.

В дальнейшем для упрощения считаем, что коэффициенты трения покоя и движения равны между собой (г = T0). Обозначая Kit0 = 6, можно написать

<7 -(- k?q = k2 [d sin (at -j- 6) — г],

что даст нам возможность отсчитывать время t от начала движения тела. На рис. 88 кривая А дает закон изменения

Рис. 88.

возмущающей силы; в измененном масштабе это есть of sin (сог1 4~6). Кривая В определяет закон движения.

Допустим, что в момент времени точка достигла наибольшего отклонения и остановилась; в этот момент (точнее говоря, непосредственно перед этим моментом) q < 0. Для того чтобы движение началось в обратную сторону, это

неравенство должно сохраниться. После остановки сила трения меняет свое направление. В этом случае имеем q = U1 [d sin (a>t -j- 6) 4- г — q].

Движение будет продолжаться без паузы, если в момент tx мгновенной остановки удовлетворяется неравенство d sin (Gtf1 + 6) -f г — ^max < 0.

Если же этого нет, то наступает пауза до момента вре-

мени t2, когда, вследствие убывания синуса, будет

d sin (о)/2 -f- 6) + г — qttVdX < 0,

что и показано на рисунке. Величины и ^max подлежат

определению на основании решения дифференциального

А. Н. Обморшев'
178

НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

[ГЛ. III

уравнения и определения постоянных интеграции по начальным условиям. Этот процесс может быть продолжен и далее, что дает точное, но громоздкое решение задачи.

В практических случаях вполне возможно отказаться от точного решения задачи и ограничиться получением общей оценки амплитуды вынужденных колебаний. Такое приближенное решение было указано Ден-Гартогом, который предложил эквивалентную линеаризацию системы [10]. Сухое трение заменяется вязким сопротивлением, дающим за четверть периода эквивалентное рассеяние энергии. При этом предполагается, что трение вообще мало и собственные колебания отсутствуют.

Итак, параллельно с уравнением, описывающим поведение нелинейной системы (назовем ее системой I):

рассмотрим уравнение, описывающее поведение линейной системы (назовем ее системой II):

<7 -f- 2nq -f- kP-q = k? d sin at.

Пренебрегая для упрощения несущественным в данном случае сдвигом фаз, полагаем, что движение происходит по закону

Найдем рассеяние энергии, отнесенной к единице инерционного коэффициента, в системе I за четверть периода:

<7 -f- k2r sgn <7 4- k2q = k2 d sin at,

T

T

т

4

J k2rq dt ~ k2ra*a J cosat dt = k2ra*.

о

о

Рассеяние энергии в системе II за тот же промежуток времени будет
§ 4] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 17§

Приравнивая друг другу значения W1 и Wn, находим величину эквивалентного коэффициента затухания:

2^r (3.120)

ясоа*

и соответственно эквивалентного коэффициента сопротивления:

46*

Ь = -^-ї- (3.121)

ясоа* 4 '

Амплитуда а* вынужденных колебаний равна а* == Ы,

где Я—коэффициент динамичности, определяемый по формуле (2.128):
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 72 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed