Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
/о+ T
^0 + Т
to + T
Если бы мы считали, что уравнение
§ 4] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 171
пусть пока неизвестное, выражает собой точный закон движения, а 6q—произвольное возможное перемещение, допускаемое связями, то из (3.110) сейчас же получили бы уравнение движения в форме Лагранжа:
-L(^r)-IL-Q = о.
dt \ dq j dq
Однако вместо точного решения, которое отыскать вообще очень трудно, зададимся его линейной аппроксимацией
Г
?=2Хф*(0. (злії)
*=i
где ф] (t)....фT(t)—некоторые функции, которыми мы
задаемся, исходя из соображений простоты и целесообразности, а Ci1....ат — неизвестные пока постоянные коэф-
фициенты, принимающие различные значения на прямом и окольном путях. Следовательно,
Г
4= S ф* (Оба*.
* = 1
Подставляя это выражение в уравнение (3.110), имеем
i>*7
k=i ta
Здесь выражение в квадратных скобках есть результат подстановки в уравнение Лагранжа аппроксимации (3.111). Введем обозначение:
F(l t) = ~ -Ll^Ty (зл12)
dq dt \ dq j Тогда уравнение движения может быть написано в виде
F(q, 0 = 0, (3.113)
а вариационное уравнение Галёркина следующим образом:
T t0 + x
6ak j F (q, t) Ф* (0 dt = 0.
A = I t
172
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. Ш
Так как вариации Ьак произвольны, то, полагая ^0 = O, получаем уравнения
f F(q, 0 Фа (0 dt = 0,
(3.114)
где k— 1, 2, .... г. После интеграции получаем систему уравнений для определения постоянных ак.
Рассмотрим часто встречающееся уравнение *):
F(q, t)=aq + f(q) — HsinCtf = 0, (3.115)
где а — коэффициент инерции (масса т или момент инер-
ции J). Предполагая, как это обычно бывает, что f(q) есть нечетная функция q, мы можем искать решение в виде суммы:
Г
q= 2 02js+iSin(2&-f-1) Citf. (3.116)
k = 0
Таким образом, здесь
фй (t) — sin (2k -f- I) Citf.
Вспоминая, что * [ 0, sin [(2s + I) Citf] sin [(2k + I) Citf] Gtf = I T о I "2 ¦
2л
где T =—, из (3.114) получаем уравнения:
s Ф h,
S = k,
(2k -f- I)2 #С02 #2? + 1 —
'If// J] a25^lSln(2S+1)C°^
0 Li=O для k — I, 2............г и
sin (2rt-f- I) citf dt (3.117)
UdPal +H = J / a&+1sin(2s+ l)c>tf
г
для & = 0.
Li = O
sinCitf (3.118)
*) Исследование этого уравнения, а также пример, заимствован из статьи А. И. Лурье и А. И. Чекмарева «Вынужденные колебания в нелинейной системе с характеристикой, составленной из двух прямолинейных отрезков». Прикладная математика и механика, т. 1, 1938, вып. 3.
§ 4] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 173
После вычисления интегралов найдем все значения flj, fl3, . . ., Cl^r + ]•
Пример. Вынужденные колебания груза массы т, находящегося между двумя упругими стопорами с полным зазором 2а0 (рис. 85, а). Упругая характеристика системы изображается в виде
Если же I a j < а0, то / (а sin со/) — 0.
Из уравнений (3.117) и (3.118), служащих для определения
Oi1, а3, ...... у нас, при ограничении первым приближением,
остается только (3.118), где вместо а и ах следует положить соответственно т и а. Имеем
При вычислении интеграла интервал от 0 до т делим на пять частей, согласно выражению функции /(a sin со/), данному выше.
Уравнение движения системы имеет вид
ломаной (рис. 85, б).
ffcj
Пусть I a I > До и а > 0. Обозначим через Z1 наименьший корень уравнения
В решении (3.116) ограничимся первым приближением
х = a sin <д/.
/
а0 — а sin со/.
Тогда
Рис. Sb.
0
при 0 < / < Z1,
с (a sin со/ — я0) » Z1 </
/ (а sin <»/)=•( 0
0
с (а sin со/ -|- аа)
х
/Mco2Gi ~j- H = / (а sin ш/) sin со/ dt.
о
174
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IH
Из пяти интегралов останутся только два, и мы получим
-и
J* / (a sin cot) sin at dt — J с (a sin at — а0) sin at dt -J-о t,
т-1
+ J с (a sin соt + «о) sin (ot dt.
T+1'
Учитывая, что atx = arc sin ~ и что
sin 2at
'-2T Vr'-{%)'¦
окончательно находим т
/ (a sin at) sin at dt
= са + тс[аагс sinT-+
При I a I > До и а < 0 после тех же вычислений получим аналогичный результат, где только перед вторым членом справа будет стоять знак минус. Таким образом, вводя обозначение
а
будем иметь
/ (a sin at) sin at dt =
ca0y ± A ca0arc sin у _j- j/" I — (y'*
после чего уравнение для определения а (или, что то же, у) примет вид
КтГ- 1J * + І - ± І [)1 a'"lnT+ /1 - (f
. (а)
где, по аналогии с линейиыми системами (стр. 37 и 90), положено
§ 4] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 175
Уравнение (а) трансцендентное; его достаточно просто можно решить графически (рис. 86), найдя точки пересечения прямой
характерной для каждого отдельного случая (параметры со, k, d аа — различные для разных систем), и раз навсегда построенной кривой
*2=±ir[yarc sin т + V^1 - (у)' ]• (в)
Из рисунка видно, что таких точек пересечения вообще две, из которых одна соответствует а > 0, а другая — а < 0; в первом
случае имеем колебания, синфазные с возмущением, во втором — антифазные. В некоторой области расположения прямой Z1 пересечение линий может вообще отсутствовать. Однако это не означает, что колебаний нет; так как не надо забывать, что мы ограничились лишь первым приближением. Очевидно, в этом случае следует взять большее число членов решения (3.116) и лишь тогда уже выносить суждение о движеиии.
