Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Я :
1
/(1-*»)* + 4г*?*
с безразмерными величинами
со ,. п
Z==~k ' *>=т-
Подставляя сюда значение п из формулы (3.120) и производя несложные алгебраические преобразования, приходим к выражению Я* для случая сухого трения:
Я*:
-(-л-)2- <ЗЛ22>
Эта формула имеет смысл лишь при Ar < яd. При резонансе (г=1) колебания неограниченно нарастают. Дело в том, что в этом случае, как видно из формул (3.120) и (3.121), эквивалентное линейное сопротивление убывает с ростом амплитуды. При малом сухом трении поглощение системой энергии извне за счет действия возмущающей силы превосходит ее рассеяние вследствие трения, которое пропорционально первой степени амплитуды. В то же время при вязком сопротивлении рассеяние энергии пропорционально квадрату амплитуды, чем и объясняется качественное различие в поведении системы при резонансе.
12*
180
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IIt
§ 5. СИСТЕМЫ, ОПИСЫВАЕМЫЕ УРАВНЕНИЯМИ С ПЕРИОДИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
А. Основные понятия
До сих пор мы рассматривали такие механические и электрические системы, поведение которых описывалось дифференциальными уравнениями, либо вообще не содержащими время t в явном виде (автономные системы), либо содержащими его только в правой части, т. е. в выражении возмущающей силы, действующей на систему. Однако существуют системы, в которых некоторые параметры (к таковым относятся: коэффициент жесткости с, коэффициент инерции а, коэффициент сопротивления Ь) изменяются в зависимости от времени. В том случае, п когда такое изменение происходит по
периодическому закону, имеет место параметрическое возбуждение колебаний, а линейные системы,
в которых происходит это явление, называются реолинейными системами. Колебания, происходящие в таких системах, получили название квазигармонических колебаний.
Простейшим примером реолиней-ной системы могут служить обыкновенные качели (рис. 89). Известно, что для раскачивания качелей человек, стоящий на доске, должен
в крайних положениях M1 и M2 приседать, а в среднем положении M0 выпрямляться. Здесь мы имеем систему, эквивалентную математическому маятнику переменной длины,
которая увеличивается в крайних положениях и уменьшается в среднем. Возникающее при этом увеличение амплитуды колебаний называется параметрическим резонансом.
Математически реолинейные системы описываются дифференциальными уравнениями с переменными периодически изменяющимися коэффициентами. Типичным уравнением такого рода является уравнение Хилла, которое в общем виде записывается так: ••
? + = (3.123)
где ij)(0—периодическая функция времени с периодом т.
s 5] УРАВНЕНИЯ с ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
181
Это уравнение имеет многочисленные применения в технике. Однако мы ограничимся изложением лишь элементов относящейся сюда теории, разработанной Флоке для уравнений с периодическими коэффициентами, и более подробно остановимся на двух частных случаях, имеющих наибольшее практическое значение.
Для упрощения дальнейших рассуждений заменим независимую переменную t безразмерной переменной х, так, чтобы период по х был равен 2я. Именно, положим
* = (ЗЛ24> Тогда, обозначая штрихом дифференцирование по х, вместо (3.123) имеем
q+4?(x)q = 0, (3.125)
где
1M = Ftls')' <ЗЛ26>
Этой новой формой уравнения Хилла мы и будем заниматься в дальнейшем.
Б. Уравнение Хилла
He задаваясь целью отыскания общего решения уравнения Хилла (3.125), что является задачей весьма трудной,
ограничимся исследованием возможности получения периодических решений, характеризующих колебания с постс янной амплитудой и наступающих при определенных условиях, а также выяснением условий устойчивости системы [15], [25].
В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнение второго порядка вообще имеет два линейно независимых решения. Обозначим эти решения для уравнения (3.125) через fi(x) и f2(x). Поскольку при увеличении безразмерного времени х на период 2я уравнение (3.125), вследствие периодичности xP (х), сохраняет свою силу, то и /%(х + 2я) также являются решением этого уравнения. Ho тогда они должны выражаться линейно через Д(х) и f2(x), т. е.
F1 (х) = Zi (x-f- 2я) = O11Z1 (х)+ 012/2(х), I /-3107ч
Р2(х) = /2(х+ 2л) = U2J1 (X)+U22Zi(X), J
где U1J — некоторая постоянная.
182
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. II!
Мы говорим, что f\(x) и f2(x) образуют фундаментальную систему решений уравнения (3.123). То же можно сказать и о функциях F1 (х), F2 (х), так как взяв их за отправные, можно построить решения /г(х) и f2(x). Это, в свою очередь, приводит к требованию разрешимости уравнений (3.127) относительно fx (х) и f2(x), т. е. к неравенству
aU а\2 _^Q а2\ а22
Покажем теперь, что существуют такие нормальные решения уравнения (3.125), которые при увеличении аргумента х на период 2я умножаются на некоторую постоянную величину s. Обозначая их звездочкой, по определению имеем
F*(x) = f*(x + 2я) = sf\x). (3.128)
Поскольку f* (х) есть решение, оно должно являться линейной комбинацией решений первоначальной фундаментальной системы, т. е.
