Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Обратимся сначала к случаю отсутствия сопротивления и зададимся специальным видом восстанавливающей силы,
§ 41 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 163
часто встречающимся в приложениях, а именно, рассмотрим так называемое уравнение Дуффинга:
q + k2 (q + nq3) = h cos at,
(3.95)
W1
/л>0
где ц — может иметь как положительное, так и отрицательное значение; F (q) — k2 (q-f- nq3) есть восстанавливающая сила, приведенная к единице коэффициента инерции. По аналогии с классификацией пружин по виду характеристики мы говорим, что при ц > 0 имеем жесткую восстанавливающую силу, при ц < 0 — мягкую, при ц = 0— линейную (рис. 81).
Для отыскания периодического решения уравнения (3.95) воспользуемся методом последовательных приближений Дуффинга, заключающимся в том, что, задаваясь первым приближением решения в виде
<7! = Л cos CO^, (3.96)
Рис. 81.
в последовательных приближениях коэффициент при cos at принимаем равным соответствующему коэффициенту в первом приближении.
Подставим первое приближение (3.96) в правую часть уравнения (3.95), которое перепишем следующим образом:
¦ (<7i-f м!)-М cos
Citf.
Развертывая куб косинуса
получим 42 = ~
Cos3 at — -J- cos at —|- -J cos 3at,
[AM (l + I M2)-А] cos at — -і- Hk2A3 cos 3 cot,
что после двукратной интеграции с нулевыми постоянными
дает
~ І (1 ~Ь ¦§- M2) — AJ cos at -J- Hk2A3 cos Sat.
11*
164
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. III
Полагая здесь коэффициент при cosorf, равным А, получаем уравнение, связывающее со и Л:
со2 = ^1 +(3.97)
Мы должны решать обратную задачу: по заданной величине со2 находить амплитуду А, что приводит к решению кубического уравнения, которое может иметь один или три вещественных корня. Вопрос о возможности нескольких амплитуд будет исследован ниже при рассмотрении колебаний с сопротивлением. Отрицательные значения А, если таковые встречаются, соответствуют колебаниям с отставанием на полпериода от возмущающей силы.
На рис. 82 показаны кривые амплитуд для жесткой пружины а), линейной б) и мягкой b)¦ «Скелетная» линия
р>0
aj 6J ej
Рис. 82.
соответствует свободным колебаниям Qi = 0). Она является границей между колебаниями, синфазными с возмущением, и колебаниями, антифазными по отношению к нему.
Заметим, что применение принципа гармонического баланса, о котором сейчас будет идти речь, привело бы нас к тем же результатам.
Б. Метод гармонического баланса
При отыскании периодического решения уравнения (3.94) удобно воспользоваться так называемым принципом гармонического баланса, предложенным Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым, легшим в основу метода того же
§ 4] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 165
наименования. Идея метода заключается в том, что задаваясь первым приближением решения
q1 =* A cos (at— е), (3.98)
подставляют его в уравнение (3.94), разлагают функцию f(q, q) в ряд Фурье и сравнивают между собой члены с косинусами и синусами аргумента at или (at — е). При этом предполагается, что вследствие малости [і члены с высшими гармониками малы по сравнению с первыми гармониками. Вследствие этого указанный принцип получил также наименование принципа эквивалентной линеаризации. Беря следующие приближения решения, именно, вводя высшие гармоники, мы опять выполняем указанное сравнение коэффициентов, получая при этом, с одной стороны, уточненное значение А и є, а с другой, определяя эти высшие гармоники.
Ограничиваясь случаем линейного сопротивления, воспользуемся принципом гармонического баланса в форме, указанной А. М. Кацем *). В целях удобства примем такие обозначения постоянных, которые в предельном случае отсутствия нелинейности (и = 0) приводят к формулам линейной теории колебаний в хорошо известных обозначениях. Для общности, следуя Кацу, представим сначала восстанавливающую силу F (q) в общем виде, полагая лишь, что F (д) — нечетная функция, т. е. F (— q) = — F (q); при этом функция ф (t) изменяется, как и ранее, по закону косинуса.
Итак, рассмотрим систему, поведение которой описывается уравнением
q-\-2nqF (q) — h cos at. (3.99)
Будем искать первое приближение в виде
q = Acos (at — є). (3.100)
Тогда приближенно
— O2A cos (at — є) — 2паА sin (at — є) -j- F [A cos (at — є)] = = h cos є cos (at — e) — A sin є sin (at — є).
Разлагая /7Hcos(G)/ — є)] в ряд Фурье и в соответствии с принципом гармонического баланса ограничиваясь первым
*) Кац А. М., О вынужденных нелинейных колебаниях. Труды Ленинградск. Индустр. ин-та, № 3, 1939, раздел физ.-мат. наук, вып. 1, стр. 102-120.
166
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. III
косинусоидальным членом этого ряда, из сравнения подобных относительно косинуса и синуса членов находим
2rt
J F (A cos ф) cos —
COz
A = h cos е,
2шА — h sin є,
(3.101)
где для удобства положено at— e = ij). При h = О имеем свободные незатухающие колебания (п = 0) с круговой частотой со0, определяемой формулой
2Л
со2 = J F (Л cos і))) cos і]) (/і]).
(3.102)
Амплитуда Л и фазовый угол є для первого приближения находятся из уравнений
