Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Jm = — Сф + M (Q — ш),
ф = (В,
где J — момент инерции колодки, который будем считать очень малым, с — коэффициент
жесткости пружины, M (Q — ш) — момент силы трения, характеристика которого представлена на рис. 78. При относительной
>) Об этом подробнее см. книгу [4].
2) Пример заимствован из книги: Андронов А. А., ВиТтА. А., Хайкин С. Э., Теория колебаний, Фнзматгиз, 1959, стр. 780 [1J.
160
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. III
скорости, равной нулю (Q — ш = 0), M = M0, если с | ср | > M0 и M = сф, если c|cpf<JjWo. Состояние равновесия колодки определяется условием:
Сфо = M (Q)1 со = 0.
Это состояние неустойчиво и, следовательно, система может само-возбуждаться, если M' (Q) < 0, что будем считать выполненным.
При пренебрежимо малом J колебательный про- ш
цесс распадается на два типа движения:
1) Если момент силы пружины уравновешен или почти уравновешен моментом силы треиия, то система будет иметь малые угловые ускорения ш, и тогда изображающаяся точка на фазовой плоскости (рис. 79) будет находиться на силовой характеристике
F =5 — сср + М (Q — ш) = 0
(г)
или, во всяком случае, около нее (в пределе, когда J = О, точно на ней).
2) Если упомянутые моменты не уравновешивают друг друга, то при исчезающе малом J получаем чрезвычайно большие значения ш (в пределе -> оо). Этому соответствуют вертикальные линии на фазовой диаграмме, если рассматривать в данном случае движение как такой мгновенный скачок, при котором скорость системы а изменяется мгновенно, а координата х остается неизменной *). Такое
*) Об условиях скачка см. цитированную литературу [1J.
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
161
условие является своеобразной формой учета малых параметров, существенных в начальной стадии движения (в данном случае малого момента инерции) и часто применяется при рассмотрении тех или иных процессов, связанных с явлением скачка.
Вспоминая правило определения направления движения изображающей точки на фазовой плоскости, мы можем сказать, что предельный цикл представляется в виде замкнутой линии ABCDА, два участка которой BC и DA изображающая точка в нашем идеализированном случае (У = 0) проходит мгновенно. Если поместить изображающую точку в произвольном месте A0, то в конце концов она принуждена будет двигаться по контуру ABCDA.
Обратимся к подсчету периода автоколебаний для такого предельного случая. На участке AB имеем ш = Q, а поэтому момент трения просто изменяется между значениями M0 и Af1. Таким образом, обозначая время движения по AB через Ti и применяя уравнение (г) к участку AB, имеем-
-CQTi-^M0-Ml= 0,
откуда
M0-Mi ‘ і =---m----•
Что касается времени T2 — движения по CD, то здесь имеем MlIc
T2= Г =
J <в
М0/с
aD
Г
с J (В
ЮС
так как сш = — M' (Q — ш) ш и dtp =
= a dt.
По характеристике момента трения (рис. 78) можно найти величину этого интеграла численно или графически. Окончательно,
T =Ti +T2.
На рис. 80, а представлена кривая м (t), состоящая из горизонтальных линий а = Q1 соответствующих участку AB фазовой диаграммы, и кривых, расположенных между ®с и полученных из участка CD фазовой диаграммы численным или графическим интегрированием. На рис. 80, б кривая tp (t) получена из предыдущей также графическим или численным интегрированием. Итак, имеем пилообразную кривую, типичную для разрывных колебаний.
Рис 80.
11 A1 Н. Обморшев
162
нелинейные системы
[ГЛ. III
§ 4. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Дифференциальное уравнение, описывающее поведение нелинейной системы, находящейся под действием произвольного возмущения, после деления на коэффициент инерции может быть записано в общем виде следующим образом:
9+/(?. 9) + g49) = WO- (З-95)
Здесь тр (/) — возмущающая функция, явно зависящая от времени, g (д) — восстанавливающая сила, в общем случае нелинейная, / (q, q) — комбинация диссипативной и ускоряющей сил; первая из них направлена противоположно скорости q, а вторая — в сторону скорости (как при автоколебаниях). Одна из этих сил, а иногда и обе, могут отсутствовать. Часто бывает, что / является функцией только q.
В общем виде точное интегрирование уравнения (3.93) представляет непреодолимые трудности. Однако нас будет интересовать построение приближенного периодического решения в ряде случаев в предположении периодичности возмущения. Предварительно заметим, что принцип суперпозиции, имеющий место в линейных системах, здесь теряет свою силу, так что отделять вынужденные колебания от собственных уже нельзя. Мы ограничимся изложением лишь небольшого числа методов решения, отсылая за подробностями к соответствующим монографиям (см., например, [4>5-13-25]).
А. Метод Дуффинга
Из всего многообразия нелинейных колебательных систем, подвергающихся внешнему возмущению, рассмотрим только системы, которые находятся под действием гармонической возмущающей силы и описываются дифференциальным уравнением типа:
q-\-k2q = \if(q, q)-\-h cosorf, (3.94)
где ц—некоторая малая величина.
