Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
/а — анодный ток; Va— анодное напряжение: V— сеточное напряжение. Кроме того, показаны: батарея В, включенная в анодную цепь; анод А; катод К', сетка лампы Q.
Уравнение тока і для колебательного контура имеет вид:
‘¦§+*‘+Ыш=е'
где е-
¦ электродвижущая сила наведенного тока, равная
144
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. III
Анодный ток /а есть функция линейной комбинации напряжений:
К =f(V + DVi).
Так как параметр D — проницаемость лампы — обычно очень мал, то приближенно можно положить D г» 0.
Распространенный вид функции /(V) — характеристики лампы — представлен на рис. 71. Эта характеристика, как видно, в некотором интервале может быть аппроксимирована
отрезком прямой. Вводя так называемую крутизну характеристики
с__
— dV'
являющуюся постоянной для упомянутого участка, имеем:
d!a ^dIa dV__ ^dV dt dV dt dt ’
Рис. 71.
Так как
V-.
4/
Idt,
то наше уравнение после простых преобразований принимает вид:
LCV + (RC-\- MS) V -f- V = 0
или
V-
RC+MS.v+1Lv==o,
(3.68)
LC
Получено уравнение типа
q + 2nq+k2q = 0,
где п в рассматриваемом примере уже не постоянно, а является вообще функцией q (в нашем случае V) и, следовательно, уравнение нелинейное.
Если считать в первом приближении S = const, то при
RC-MS = O
имеем консервативную систему с незатухающими электрическими колебаниями. При
RC — MS > 0
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
145
ток в электрическом контуре затухает либо по периодическому закону, либо апериодически в зависимости от соотно-
RC- AfS , 1
шения между величинами п =---------------- и я — г— , как
2 LC Vlc
это излагалось в линейной теории, в частности на рассмотренной выше модели Ван-дер-Поля (стр. 63). Наконец, когда
RC — MS < О
имеем «отрицательное сопротивление»: контур оказывается самовозбуждающимся и дает в линейной трактовке задачи нарастающий ток. Порождаются ли здесь автоколебания или вообще имеет место расходящийся процесс, нам пока неизвестно; на этот вопрос возможно ответить, если пойти дальше линейной аппроксимации функции f (V). Внешним
непериодическим источником энергии, могущим привести
систему к автоколебаниям, является включенная в цепь батарея В (рис. 70).
Таким образом, если исходить из данных, при которых RC—MS = 0, то, меняя слегка хотя бы один из параметров R, С, М, S, мы можем качественно менять характер
процесса в контуре, т. е. имеем так называемую грубую систему.
В дальнейшем (стр. 155) этот пример рассмотрим по-
дробно в нелинейной трактовке, которая покажет возможность порождения автоколебаний.
Б. Метод осреднения
Имеем квазилинейное уравнение
q-\-(iPq = lif(q, q), (3.69)
где /(q, q) — какая угодно функция от q, q, а |х — малая величина, показывающая отклонение системы от линейной. При [х = 0 система обращается в линейную и уравнение (3.69) имеет очевидное решение
q = a cos (orf-j- ф), (3.70)
где а и ф — произвольные постоянные.
Введем полную фазу
•ф = Grf-I-ф (3.71)
10 А. Н. Обморщев
146
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. III
и будем искать решение уравнения (3.69) при ц, Ф О также в форме (3.70), где только а и ф — вообще переменные, медленно изменяющиеся параметры. Конечно, с таким же правом мы могли бы искать решение в форме — синуса. Образуем производную по времени:
q = a cos (at ф) — аф sin (etf Ф) — асо sin (at ф)
и введем требование:
acos (Gtfф) — аф sin (Gtf+ ф) — 0, (а)
сравните с аналогичным требованием на стр. 98. Тогда, если принять во внимание уравнение (3.71), находим:
q = — асо sin ф,
q — — аю sin ф — асо2 cos ф — асоф cos ф.
После подстановки в уравнение (3.69) и сокращений имеем: — асо sin і]) — асоф cos if) = \if (а cos ф, — аю sin ф).
Из этого уравнения и из уравнения (а) легко находим:
=------/ (a cos і]), — асо sin ф) sin ф,
d и (3-72)
-гг =-----— / (а cos ib, — асо sin ф) cos ф,
dt аш J 4 т т/ т>
где ф определяется формулой (3.71).
Мы получили дифференциальные уравнения для определения изменяющейся амплитуды а и изменяющегося фазового угла ф. Правые части этих уравнений можно разложить в тригонометрические ряды:
— / (a cos ф, — асо sin ф) sin ф =
CO
= Ф (а) + 2 [Pj (а)cos УФ + Qj (а) sin Уф],
— / (а cos ф, — асо sin ф) cos ф =
CO
*=*1P (а) -f - 2 [Rj (а) cos уф -f- Sj (а) sin Уф],
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
147
где
2я
cosip, —асо sin гр) sin г|э г?г|э,
о
2Я
1F (а) = —2^- J /(аcosTfi, —dosing) cosгр??г|э.
(3.73)
Осредняя правые части уравнений (3.72) за один период, мы получим так называемые у равнения установления Ван-дер-Поля, совпадающие с уравнениями первого приближения по Крылову и Боголюбову:
— — Ф (а),
dt CD
d\|? ~dt
+JLY(Ct).
1 аа> v '
(3.74)
Эти уравнения упрощаются, если предварительным преобразованием времени ^ = привести задачу к случаю <а=1.
Первое из уравнений (3.74) дает закон изменения амплитуды во времени, второе — поправку на частоту, которой является второй член правой части. Предельные циклы получаются в тех случаях, когда для некоторых значений а имеем