Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Обморшев А.Н. -> "Введение в теорию колебаний " -> 36

Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.

Обморшев А.Н. Введение в теорию колебаний — Москва, 2000. — 278 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriukolebaniy2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 72 >> Следующая


/а — анодный ток; Va— анодное напряжение: V— сеточное напряжение. Кроме того, показаны: батарея В, включенная в анодную цепь; анод А; катод К', сетка лампы Q.

Уравнение тока і для колебательного контура имеет вид:

‘¦§+*‘+Ыш=е'

где е-

¦ электродвижущая сила наведенного тока, равная
144

НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

[ГЛ. III

Анодный ток /а есть функция линейной комбинации напряжений:

К =f(V + DVi).

Так как параметр D — проницаемость лампы — обычно очень мал, то приближенно можно положить D г» 0.

Распространенный вид функции /(V) — характеристики лампы — представлен на рис. 71. Эта характеристика, как видно, в некотором интервале может быть аппроксимирована

отрезком прямой. Вводя так называемую крутизну характеристики

с__

— dV'

являющуюся постоянной для упомянутого участка, имеем:

d!a ^dIa dV__ ^dV dt dV dt dt ’

Рис. 71.

Так как

V-.

4/

Idt,

то наше уравнение после простых преобразований принимает вид:

LCV + (RC-\- MS) V -f- V = 0

или

V-

RC+MS.v+1Lv==o,

(3.68)

LC

Получено уравнение типа

q + 2nq+k2q = 0,

где п в рассматриваемом примере уже не постоянно, а является вообще функцией q (в нашем случае V) и, следовательно, уравнение нелинейное.

Если считать в первом приближении S = const, то при

RC-MS = O

имеем консервативную систему с незатухающими электрическими колебаниями. При

RC — MS > 0
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

145

ток в электрическом контуре затухает либо по периодическому закону, либо апериодически в зависимости от соотно-

RC- AfS , 1

шения между величинами п =---------------- и я — г— , как

2 LC Vlc

это излагалось в линейной теории, в частности на рассмотренной выше модели Ван-дер-Поля (стр. 63). Наконец, когда

RC — MS < О

имеем «отрицательное сопротивление»: контур оказывается самовозбуждающимся и дает в линейной трактовке задачи нарастающий ток. Порождаются ли здесь автоколебания или вообще имеет место расходящийся процесс, нам пока неизвестно; на этот вопрос возможно ответить, если пойти дальше линейной аппроксимации функции f (V). Внешним

непериодическим источником энергии, могущим привести

систему к автоколебаниям, является включенная в цепь батарея В (рис. 70).

Таким образом, если исходить из данных, при которых RC—MS = 0, то, меняя слегка хотя бы один из параметров R, С, М, S, мы можем качественно менять характер

процесса в контуре, т. е. имеем так называемую грубую систему.

В дальнейшем (стр. 155) этот пример рассмотрим по-

дробно в нелинейной трактовке, которая покажет возможность порождения автоколебаний.

Б. Метод осреднения

Имеем квазилинейное уравнение

q-\-(iPq = lif(q, q), (3.69)

где /(q, q) — какая угодно функция от q, q, а |х — малая величина, показывающая отклонение системы от линейной. При [х = 0 система обращается в линейную и уравнение (3.69) имеет очевидное решение

q = a cos (orf-j- ф), (3.70)

где а и ф — произвольные постоянные.

Введем полную фазу

•ф = Grf-I-ф (3.71)

10 А. Н. Обморщев
146

НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

[ГЛ. III

и будем искать решение уравнения (3.69) при ц, Ф О также в форме (3.70), где только а и ф — вообще переменные, медленно изменяющиеся параметры. Конечно, с таким же правом мы могли бы искать решение в форме — синуса. Образуем производную по времени:

q = a cos (at ф) — аф sin (etf Ф) — асо sin (at ф)

и введем требование:

acos (Gtfф) — аф sin (Gtf+ ф) — 0, (а)

сравните с аналогичным требованием на стр. 98. Тогда, если принять во внимание уравнение (3.71), находим:

q = — асо sin ф,

q — — аю sin ф — асо2 cos ф — асоф cos ф.

После подстановки в уравнение (3.69) и сокращений имеем: — асо sin і]) — асоф cos if) = \if (а cos ф, — аю sin ф).

Из этого уравнения и из уравнения (а) легко находим:

=------/ (a cos і]), — асо sin ф) sin ф,

d и (3-72)

-гг =-----— / (а cos ib, — асо sin ф) cos ф,

dt аш J 4 т т/ т>

где ф определяется формулой (3.71).

Мы получили дифференциальные уравнения для определения изменяющейся амплитуды а и изменяющегося фазового угла ф. Правые части этих уравнений можно разложить в тригонометрические ряды:

— / (a cos ф, — асо sin ф) sin ф =

CO

= Ф (а) + 2 [Pj (а)cos УФ + Qj (а) sin Уф],

— / (а cos ф, — асо sin ф) cos ф =

CO

*=*1P (а) -f - 2 [Rj (а) cos уф -f- Sj (а) sin Уф],
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

147

где



cosip, —асо sin гр) sin г|э г?г|э,

о



1F (а) = —2^- J /(аcosTfi, —dosing) cosгр??г|э.

(3.73)

Осредняя правые части уравнений (3.72) за один период, мы получим так называемые у равнения установления Ван-дер-Поля, совпадающие с уравнениями первого приближения по Крылову и Боголюбову:

— — Ф (а),

dt CD

d\|? ~dt

+JLY(Ct).

1 аа> v '

(3.74)

Эти уравнения упрощаются, если предварительным преобразованием времени ^ = привести задачу к случаю <а=1.

Первое из уравнений (3.74) дает закон изменения амплитуды во времени, второе — поправку на частоту, которой является второй член правой части. Предельные циклы получаются в тех случаях, когда для некоторых значений а имеем
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 72 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed