Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Ф (Ct) = O. (3.75)
Таким образом, автоколебания возможны, если уравнение (3.75) имеет вещественные корни.
Устойчивость предельного цикла, а следовательно, и автоколебаний можно определить с помощью так называемого метода возмущений. Пусть ау- есть какой-либо вещественный корень уравнения (3.75). Положим в первом уравнении (3.74)
<Х = <Х/ + |.
где I — малое изменение амплитуды автоколебаний, и разложим Ф(а) в ряд Тейлора в окрестности а у. Предполагая, что Ф' (aj) ф 0, а также ограничиваясь линейным приближением и учитывая, что
ф (aj) = О,
10*
148
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. ItI
из первого уравнения (3.74) получим: Решение этого уравнения имеет вид:
и
Так как со всегда положительна, то при ji > О цикл устойчив, если
WiajXO (3.76)
и наоборот. В самом деле, при выполнении условия (3.76) ?—>0 при t-+oo.
Многочисленные задачи приводятся к так называемому у равнению Ван-дер-Поля, которое после преобразования времени имеет вид:
(3.77)
где
¦ jc-f-Ц (I — X2) у,
(3.78)
Если ввести фазовые координаты x = q, y=q, это уравнение можно представить в виде двух уравнений: dy _ dd
dx ____
dft У'
Полагая
X = CICOSi
находим:
/(a cosTfi, —а sin ф) SiniJj =
¦ а sin і
= — -g- (4 — а2) -4- Y cos ^ft ¦ / (а cos if, — а sin if) cos г|> = — j- (2 — а2) sin 2ft -Следовательно, в этом случае
Ф(а) = -^(4— а2), xF (а) = 0.
•cos 4ft,
sin 4ft.
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМУ
149
Приравнивая нулю Ф(а) и отбрасывая случай равновесия Ct = O, получаем предельный цикл при а = 2. Здесь поправка на частоту в первом приближении равна нулю. Для проверки устойчивости предельного цикла находим:
(Ф- (C)U1 = (і -14L = -1 < О,
т. е. при ц > 0 цикл устойчив.
При а = 0 имеем:
1Ф'(O)Ieat0 = T >°-
Следовательно, в начале координат имеем неустойчивый фокус, из которого выходят спирали, навивающиеся изнутри на предельный цикл.
Если ц < 0, то предельный цикл неустойчив; с него сматываются спиралеобразные фазовые траектории во внешнюю и внутреннюю стороны. Начало — устойчивый фокус.
В. Метод малого параметра
Возвращаясь к квазилинейному уравнению (3.69)
= ф,
сопоставим с ним так называемое укороченное уравнение
qSr (S^q = 0, (3.79)
решений которого
q = a cos (a>t -f- ф)
назовем порождающим решением исходного уравнения (3.69) если решение последнего совпадает с написанным сейчас решением при Ji = O. Очевидно, это имеет место не при любой амплитуде, а только при определенной, называемой амплитудой порождающего решения, или порождающей амплитудой.
Поскольку система автономна, за одну постоянную интеграции можно принять начало отсчета времени, положив ^0=O. Для изучения автоколебаний займемся отысканием периодических решений уравнения (3.69). Если такие решения
150
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
ІГЛ. III
возможны, то возможны и автоколебания. Пусть при ф=0 и при ^ = O
? (O) = O1, q0 (O) = а,
где q0(t) есть порождающее решение. Период этого последнего:
__2л
0 а '
в то время как период истинного решения вообще отличен от T0 и равен, например:
т = tOH-Xi (3.80)
где х—малая величина.
Амплитуда автоколебаний Ci1 также отлична от а на некоторую малую величину |3:
Ct1 = ct (1 —р). (3.81)
На рис. 72 порождающее решение изображается на фазовой
плоскости эллипсом, а периодическое решение данного уравнения при [X Ф 0 имеет вообще иную форму фазовой траектории, изображенной пунктир-
Мы имеем право считать, что периодическое решение данного уравнения (а мы только такими решениями и интересуемся) зависит от малых параметров ц и P и может быть разложено в ряд по степеням этих параметров:
q (і) — q0 (t) -(- |i<7i (f) -f- P<72 (0 H~ 11? (f) H~ (f) H~ • • • >
(3.82)
где q0{t) — порождающее решение. Тогда
я (t) = Яо (О Ч~ Wi (0 + Р#2 (О Ч~ M-2Sr3 (О "Ь M-Pof4 (0 +
(3.83)
Вводим начальные условия. При f — О
Sr0(O) = G- ?(0) = а(1 + р),
<7о (0) = 0, ?'(0) = 0.
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
151
Из уравнений (3.82) и (3.83), в которых полагаем / = 0, путем сравнения членов, подобных относительно P и и* получаем:
?2 (0) = <х.
Все остальные данные-нейную функцию
нули. Далее разложим в ряд нели-
/ (д, д) — /[<7о(0- ?о(ОИ~
dq Jc
[Mi+ Р?2+^2?з+M-P^4+ ••¦] + т?") [Wi + PfoH- V-2Qz-iT !1Psr4H- ••¦]+ •••>
dq Io
где значки «0» обозначают, что после дифференцирования сделана подстановка q = q0(t), д = доСО- Теперь наше исходное уравнение примет вид:
Чо CO Н~ Mi CO Н~ Pfo CO H- M-2fo CO H- (xP^4 (ОН- • • •
... + Cpq0 CO + co2MrI (0 Н~ «2Р<72 CO H- coVfo CO H-
Ж)оЧі +
+ CO2HPg4 (0 H- • • • =M-/ Сдо> Чо) H- H2 (7^
ьцрШ.?ї+ +іі!('ЇІ?,+,‘і'Ш»?!+ "
Производя и здесь сравнение подобных членов, т. е. приравнивая друг другу величины одинакового порядка малости относительно H и P в отдельности, приходим к системе дифференциальных уравнений:
до CO H- co2Sr0 (0 — о,
4i CO H- co2SrI (0 = / \Чо С0> Чо (01. fo CO H- ®2fo CO — о,
і (0+т=[%\ Ї, т +(Jt)o«. (0.
44 CO H- coV4 CO
