Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Пример. Найдем первые четыре гармоники для кривой, представленной на рис. 37. Полагая п= 12, т. е., деля период на 24 части
^no 15°, или j, имеем 25 ординат, из которых две (у0 и у24)
совпадают:
_Ю, —15, —12, —6, +3, +11, +17, +22, +26, +29, +30, +29, +20. +15, +16, +20, +21, +17, +12, +7, 0, —4, —6, -7, —10.
По первой формуле (2.114)
й0 = А-(_1°_ 15— ... + 22+26+ ... -7-10) = 17,9.
Пользуясь таблицами 1 и 2, легко видеть, что в формулах (2.114) группировать для вычисления можно не только по два члена, но и большее число. Так, для первой гармоники (s = 1) имеем
Й1 = А {0,986 (— 15 - 29- 15 - 7) + 0,866 (— 12 — 30—16 — 6) +
+ 0,707 (-6-29-20-4) + 0,500(-3-25-21+0) +
219
-f 0,259 (+ 11 —22— 17-(-7)-(- 1,000(- 20— 10)} = - ^ и — 18,3,
ъ1 =-L {0,259(- 15-29-15 + 7)+0,500(- 12 + 20—16 + 6) + + 0,707 (— 6 + 29 — 20 + 4) + 0,866 (+ 3 + 26 — 21 + 0) +
+ 0,66 (+11 +22-17 - 7) + 1,000 (+ 17 —12)}=+ -^-«+2,6.
При вычислении коэффициентов второй гармоники видим, что тригонометрические функции принимают только три числовых значения: 0,500, 0,866 и 1,000, что еще более облегчает вычисление. Итак, имеем
60,3 44,5 _
Й2----J2 ^ ^2 |2 ^ 3,7.
Аналогично находим
а3 = + 1,8, Ь3 = + 0,5, <г4 и 0, и — 2,8.
*) Cm., например, цитированную выше книгу [23].
ПРАКТИЧЕСКИЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
81
Б. Графический метод
Графические методы основаны на графическом интегрировании заданной функции. Рассмотрим метод, предложенный Мизесом. Как и в предыдущем случае, изменим масштаб по оси абсцисс так, чтобы период функции был равен 2л (2.110). Разделим период на 2п равных частей (рис. 38) и заменим
периодическую кривую ступенчатой линией так, чтобы сохранилась, хотя бы приблизительно, эквивалентность площадей прежних и новых элементарных фигур. Получающиеся прямоугольники проектируем на ось у и из точки К, находящейся на некотором принятом расстоянии R от точки О, приводим лучи к точкам деления оси у.
Для вычисления косинусных и синусных коэффициентов as, bs преобразуем формулы (2.113), применяя интегрирование по частям. Так как подынтегральная функция есть функция периодическая, то подстановка исчезнет, и мы получим
2л
J y^.(sinsx),
0 *, (2-11?
^(cossx)-
о
б К Н. Обморшев
82
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ C ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. II
Построим две полуокружности радиусом R (рис. 39, а, б), каждую из которых разделим на п равных частей так, чтобы
каждая дуга была равна |. Через точки деления (на рис.39, а)
проводим вертикали, а на рис. 39, б — горизонтали. Пусть требуется найти величину коэффициента гармоники порядка s. Тогда выделим из указанного семейства параллельных прямых те из них, которые последовательно проходят через
п / ш
ТОЧКИ деления SJijtl, tIsnjn, Zsnjn, ... и т. д. (т. е. берем s-кратные центральные углы). После этого на рис. 39, а, начиная от точки A0, проводим ломаную, звенья которой параллельны соответствующим лучам на рис. 38. На рис. 39, б, начиная из точки O2, проводим ломаную, звенья которой перпендикулярны лучам рис. 38. На каждой фигуре число звеньев ломаной должно равняться числу лучей 2п. По окончании построения спроектируем конечные точки ломаной на рис. 39, а на вертикаль, а на рис. 39, <5" — на горизонталь. Эти проекции, с точностью до постоянного множителя, будут равны коэффициентам bs и as соответственно. Докажем это.
Из рис. 39, а имеем
ClA1=ClAoig ф1== [ft — R cos (s-^Jtgcp! =
= R tg ф, [cos О — cos (s = )»!A cos (s -^j ,
ПРАКТИЧЕСКИЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
83
так как < 0. Находим, далее,
C2A2 — C1A1 -j- C2C1 tg ф2 = У]А cos ^s —) -|~
-+- [tf cos (sJ) — Яcos (2s A)] tgф2 =
= УіД cos Js J) -f R tg ср2 [— A cos [2s J) j =
= УїД cos (s j) + у2Д cos \2s Jj
и т. д. Ломаная A1A2A3 . . . Л2п_2А2п_1А2п пройдет s раз
(где s—порядок гармоники) влево и вправо между перпендикулярами / и // к основному диаметру окружности. В результате получаем, с точностью до множителя, аппроксимацию интеграла во второй формуле (2.116):
2п
А0А2п = ^ У Л C0S (k •
П I
4 = 1
Принимая во внимание знак и постоянный множитель, имеем bs = -^A0A2n, (2.117а)
т. е. bs > 0, если отрезок A0A2n направлен вниз и наоборот. Аналогично из рис. 39, б можно найти, что
2п
O2B2n = ^yA Sin ь=\
и тогда, принимая направление влево от точки O2 за положительное, приближенное значение коэффициента as будет равно
Cts = -Lo2B2n. (2.1176)
Формулы (2.117а и б) решают поставленную задачу.
Пример. Указать графическое определение гармоники для кривой, изображенной на рис. 40, а. Выбирая полюсное расстояние R, строим окружность радиуса R (рис. 40, б). Разделим эту окружность на 12 частей (2л= 12) и проведем через точки деления горизонтали и вертикали. Аппроксимируем кривую ступенчатой
линией и проводим лучи /Cl, К2......... л12; иа рис. 40, в строим
параллели к проведенным лучам, а на рис. 40, г — перпендикуляры
6*
84 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. II
Рис. 40.
§ 9] ПРАКТИЧЕСКИЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
