Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
sin сои sin со it — и) du=
о
I * I . ,Г cos 2<ш I ,Г sin20al)
-J0Vmat L------------2Й J - C0S ^ [и---------2со J f
нли
h . , M
q = —sm Vt--^ cosvt,
т. е. имеем также известное решение (см. формулу (2.107) на
стр. 70).
Пример 2. К системе, обладающей линейным сопротивлением, в момент t = О прикладывается постоянная сила, которая снимается в момент t — tv Найти движение системы.
Имеем
ф = h при О < t < tv ? = 0 при t >
Допустим сначала, что сопротивление мало (п < k). В первом
интервале (и) — h и тогда, согласно формуле (2.142), отбрасывая члены с С, и C2, имеем
Q — J e~nV~a) sin V (t — и) du. о
§ II] ПРОИЗВОЛЬНЫЙ ЗАКОН ВОЗМУЩАЮЩЕЙ СИЛЫ 103
Положим t — и-z. Тогда
t
g-n(t-u) sin ^ du = j*
e nz sin vz dz =
0
0
01
e nz (—n sin vz — vcosv,?)
n2 -j- Vа
(B)
Имея в виду, что V2 == k2 — n2, после вычислений, находим
При t > tt интервал интегрирования в (2.142) разбивается на две части: от 0 до и от до t, во втором интервале -ф (^) =0. Тогда предыдущие вычисления надо изменить лишь в том смысле, что интегрирование по t надо вести в пределах от 0 до t— tu а по z — от t— tx до t. Делая соответствующие изменения в подстановке, находим
При отсутствии сопротивления (л = О, V — k) получим простые вы ражения
при 0 < t < <f.
Допустим теперь, что сопротивление большое: п > k. Тогда придется обратиться к формуле (2.144). Положим и здесь t— и ¦= z. Чтобы воспользоваться уже известным результатом (в), вспомним, что
q= vf2" ^ П{‘ cos V (*-*,)+ и sin V(*-*,)]
е nt (v COS Vt л Sln Vi)}
при t > if.
h
q = -р- [cos k(t — t{) — cos kt].
sin Iu = I sh u, cos iu = ch u,
где і = Y—I- t* нашем случае
V = Yk2 — n2 = Ы.
104 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. Il
Тогда t t
J e~nz sh Kzdz = I j"
о о
в~ sin Vz Az =
о
_ ; e~"z (— п sin — v cos vz) _ ~ ol n2 + v2 ~
________1_'
“ k* n
e~nz (x ch кг n sh uz).
Выполняя подстановку, имеем при 0 < t < #,:
q — —[и — e~nt (x ch v.t-|- n sh %tj\
Я = -ZU У~П {t~h) Iй ch x V ~ + « sh и (f — Z1)] —
И При t > ti.
Jl
Wki
— e nt (и ch xt -J- n sh и/)}.
ГЛАВА II
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
§ 1. КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
В зависимости от характера вопроса и свойств системы бывает допустима консервативная идеализация; изменением энергии колебательной системы можно пренебречь при не слишком большом интервале времени рассмотрения ее поведения. Такая аппроксимация удобна в смысле большей простоты исследования колебаний при одновременной возможности более глубоко подойти к ряду других вопросов. Кроме того, идеализированные консервативные системы часто оказываются по своим свойствам близкими к упоминавшимся выше автоколебательным системам, о которых подробнее будет идти речь в дальнейшем.
Поскольку консервативные системы характеризуются постоянством энергии, имеем
T + П= const. (3.1)
Кинетическая энергия T определяется первой из формул (2.2), т. е.
Т = \-аф,
а потенциальная энергия в общем случае есть некоторая функция обобщенной координаты:
П = П(?).
Для большей общности мы можем считать коэффициент инерции а также зависящим от координаты q (например, приведенная масса или момент инерции кривошипно-шатунного механизма зависят от угла поворота вала машины).
Дифференцируя по времени уравнение энергии (3.1), легко найдем
4=f(q)> (3.2)
106
нелинейные системы
[ГЛ. III
где
/(?) = - 7 П'(?). (3.3)
Для исследования движения, определяемого уравнением (3.2), мы можем либо заменить это уравнение двумя уравнениями первого порядка путем введения фазовых координат х, у, либо выполнить непосредственную интеграцию хотя бы приближенным методом. При этом можно воспользоваться интегралом энергии.
А. Качественное исследование
Исследуем движение нелинейной консервативной системы с помощью фазовой плоскости. Полагая q = x, q = y, имеем dy ,. . dx
— -зг = у.
откуда
)¦#=/«.
Интегрируя, естественно, получаем интеграл энергии:
у2+ F (х) = А. (3.4)
где h — постоянная интеграции, зависящая от начальных условий, а
F(x) = —2 |/(х)Ле = + -|П(*). (3.5)
т. е. представляет собой функцию, пропорциональную потенциальной энергии.
Интегральные кривые, выражаемые уравнением (3.4), симметричны относительно оси х. Однако соответствующие движения не всегда осуществимы. В самом деле, так как
у= ± Yh-F(X), (3.6)
то для возможности движения должно быть h~>F(x).
Отсюда можно найти особые точки, в которых одновременно
F' (х) = — 2/(х) — 0, у = 0.
КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
107
Обратимся к вопросу об исследовании фазовых траекторий в непосредственной близости к особой точке. Для большей общности рассуждений не будем стеснять себя требованием консервативности системы, которую предположим лишь автономной. Тогда движение будет описываться уравнением (2.5):
? = Ф(?. ?)¦
или уравнениями (2.6)
~ = Р(х,у), -§- = <?(*, у).
Выделим линейные части в выражениях Р(х, у), Q(x, у):
