Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 22.
плоскости |т) (рис. 21). Тогда уравнение (2.64) определит в плоскости ху для каждого С также некоторую закручивающуюся спираль (рис. 22). Начало координат является асимптотической точкой. Эта особая точка называется фокусом, который в данном случае (п > 0) является устойчивым.
ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
57
Изменяя постоянную С, зависящую от начальных условий, получаем континуум спиралей, заполняющих всю фазовую плоскость. Изображающая точка, будучи «заброшена» в какую-либо точку плоскости, будет асимптотически приближаться к точке О по одной из спиралей, т. е. имеем асимптотическую устойчивость.
2) ft > k. По формуле (2.56) ft2— k2 — x2, и тогда из уравнений (2.61), (2.62) имеем
Inx = — і In (м2 — X2) “)—к— In
+ -IlnC, (2.70)
2 V- 2к
что после соответствующих преобразований дает
,>+2»*,+ *V=±C|f±?=|?p
Для наглядности здесь также примем линейное преобразование координат, положив
I = у ПХ -)- Y.X,
Т) = у ~j- пх ¦
¦ XX.
(2.71)
(2.72)
Выражая из этих уравнений х и у через | и г), подставляем найденные значения в уравнения (2.60), которое разрешаем относительно производных. Получим
= -(« + *) п.
3.
dt
= — (« — и) Т).
Дифференциальное уравнение траекторий принимает вид
rfiq п-(-и г)
rfS п — и ? ’
Интегрируя и потенцируя, находим
(2.73)
фазовых
(2.74)
т] = ± С|||п-
(2.75)
что в силу формул преобразования (2.72) Рис. 23.
тождественно с уравнением (2.71).
Уравнение (2.75) определяет собой семейство кривых параболического типа, касающихся в начале оси \ (рис. 23); при этом оси координат также являются интегральными кривыми уравнения (2.75): ось | (когда т| = 0) при С — 0 и
58
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. Ii
ось г] (когда 1 = 0) при C = со. На первоначальной фазовой плоскости ху осям т]= 0 и | = 0 соответствуют прямые
у— — (п— х)х, у = — (п-\-к)х. (2.76)
Первая из них является касательной ко всем кривым семейства (2.71). Общая картина фазовой плоскости представлена
на рис. 24. Каждая из кривых, лежащих вне угла, образованного прямыми (2.76), пересекает по одному разу каждую из осей координат (до точки О). С другой стороны кривые внутри указанного угла, не пересекая этих осей, также сходятся в точке О. Легко видеть, что, куда бы ни была «заброшена» изображающая точка, отклонение системы может иметь самое большее только один экстремум, что и харак-
ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
59
теризует затухающий апериодический процесс. Особая точка О называется узлом; в данном случае (п > 0) имеем узел устойчивости.
He рассматривая детально критический случай (п = k), отметим, что его можно трактовать, как предельный, когда спираль первого случая, развертываясь, дает в конечной области лишь по одной точке пересечения с каждой из осей хи у, переходя, таким образом, в кривую второго случая. Тогда, следовательно, фокус перерождается в узел.
Пример 1. Найти логарифмический декремент колебаний Л и безразмерный коэффициент колебаний ? в зависимости от полного числа колебаний N (т. е. удвоенного числа размахов), в течение которого амплитуда уменьшается вдвое. Помня, что амплитуды образуют геометрическую прогрессию со знаменателем р = е~пх> имеем
откуда
AfInp = - In 2.
С другой стороны, согласно (2.53):
Л = 1п— = — Inp P
и, следовательно,
Л I Ig 2 0.7
N \ge ~ N ’
где е — основание натуральной системы логарифмов.
Далее, безразмерный коэффициент Zt находим по формуле (2.54):
; °-7
У" An2N2 0,49
На рис. 25 построены кривые для Л и ?; первая из них есть равнобочная гипербола. Пусть, например, амплитуда уменьшилась вдвое за два периода. По графику или путем расчета находим Л = 0,35, ? = 0,05.
Пример 2. Определить ток і после замыкания в электрическом контуре, содержащем индуктивность L, емкость С и сопротивление R (рис. 26). Так как источника тока в контуре нет, то уравнение (2.25) дает:
60 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. Il
Для приведення уравнения к каноническому виду полагаем:
1
-ЛШШЛг
Рис. 26.
/г2 =
LC'
2а.-S-.
При замыкании разряд будет колебательный, если п < к, т. е. если
CR2 < AL.
Наоборот, разряд — апериодический, если
CR2 > AL.
Решение для г определяется уравнениями (2.44) или (2.57) в зависимости от указанных соотношений параметров.
§ 7. НАРАСТАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
При исследовании уравнения автономной системы (2.1) указывалось, что коэффициент инерции а всегда положителен, коэффициент жесткости с—положителен в случае восстанавливающей силы, отрицателен в случае силы отталкивания, когда система теряет устойчивость; в этом последнем случае коэффициенту с целесообразно дать более общее наименование — квазиупругий коэффициент. Что касается коэффициента Ь, то, как упоминалось (стр. 33), он также в некоторых случаях может быть отрицательным, характеризуя собой уже не силу сопротивления, а ускоряющую силу, способную породить автоколебания, рассматриваемые в главе IlI с помощью методов нелинейной теории колебаний. Оставаясь в рамках линейной теории, мы можем лишь утверждать, что отрицательность коэффициента b приводит к расходящемуся процессу, что очевидно из теории дифференциальных уравнений [24] и что будет показано сейчас при построении решения уравнения (2.1). Формально, сохраняя терминологию, мы называем этот случай случаем «отрицательного сопротивления» (стр. 33), для исследования которого воспользуемся полученным результатом, изменяя знаки у соответствующих коэффициентов.
