Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
синус в правой части в виде суммы
Sin(SGrf -|-S5) = Sin [(SGrf+ S5 є5) + Ei] =
= sin (sorf + S5 — є5) cos є5 -f- cos (sat + S5 — є5) sin es,
подставляя это разложение и решение (2.123) в уравнение (2.124), получим результат в следующем виде:
[а*(&2 — S2Co2) — Zz5 cos є5] sin(scirf +S5 — ^5) +
4 [2cyisco — /г^ sin є5] cos(sat + S5 — є5) = 0.
90 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. II
Это соотношение тождественно выполняется, если выражение в каждой квадратной скобке равно нулю. Отсюда легко находим
V(k2 — s2ti)2y + 4/z2s2co2 ’ 2/zsw
k2 — S2CO2
(2.125)
Резонанс получается при k, равном или кратном со, т. е. вообще при k — sco. Следовательно, число резонансных частот вообще бесконечно велико. Наиболее резко резонанс проявляется при совпадении основной круговой частоты со с k, а именно при s= 1. Однако теперь, в отличие от результатов, полученных ранее в § 8, вследствие наличия сопротивления никакого безграничного роста амплитуд ке будет.
Для исследования формул (2.125) рассмотрим, например, первую гармонику и ради упрощения индекс s = 1 отбросим. Здесь очень удобно перейти к безразмерным параметрам, к которым относится введенный выше (стр. 51, формула (2.49)) безразмерный коэффициент затухания
I = -b k
и безразмерная частота возмущающей силы
z = j. (2.126)
Разделим числители и знаменатели дробей в правых частях уравнений (2.125) на k2\ тогда, используя введенные обозначения, получим
a* = Xd, (2.127)
где
X = -T=L= (2.128)
у (і -г2у + 4*?*
и
^ = (2Л29)
Здесь X есть так называемый коэффициент, динамичности, представляющий собой число, на которое нужно умножить статическое смещение
d^-W = 1T (2ЛЗ°)
§ IOJ ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ С СОПРОТИВЛЕНИЕМ
91
для получения амплитуды вынужденных колебаний. Наличие множителя X обусловлено инерцией колеблющейся системы.
Рассматривая формулу (2.128), убеждаемся, что при z=\, т. е. в случае резонанса (a = k), коэффициент X имеет конечное значение:
Ьрез = -^-. (2.131)
при этом tg ерез = со и тогда
ерез = у. (2-132)
т. е. независимо от затухания. Случай S = O можно рассматривать как предельный, для которого при © = &, согласно (2.131), имеем Х = оо.
Если же совпадают частоты возмущающей силы и свободных затухающих колебаний, т. е. = — я2, или если
перейти к безразмерным величинам:
(2.133)
то тогда
X' = / -, tg е' = уТ—(2.134)
?/4-?* S f
Найдем экстремальное значение коэффициента динамично-
сти X [20]. Для этого будем искать экстремум подрадикаль-ного выражения в знаменателе (2.128):
у = (I — Z2)2 + 4 z2t2.
Имеем
-? = 0, г (4 Z2 — 4 + 8?2) = 0.
Получаем два решения:
Z1 = 0, = у і — 2?2-
Последнее решение имеет смысл лишь в случае S < 4=- •
V 2
Образуем вторую производную
-3- = 4(3^-1+2?) и рассмотрим отдельно оба решения:
I) Z = O,
92
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. II
Если С < -7= , ТО /2
У — Ушах’ ^ “ ^mIn = ^ >
f ^ 1
если же L, > -J=-, то
г 2
У ~ Уmln> ^ “ ^max ~ 1 ¦
2) z = V1 — 2^2>
-g- = 8(l-20>O,
следовательно,
У = Ут In
И
Ji__; ______!______
ти “ *
Легко убедиться, что в этом случае Xpe3 < Xmax- На рис. 44 представлена так называемая резонансная диаграмма или
график коэффициента динамичности л, а на рис. 45 — график сдвига фазы є. На этих рисунках числа, поставленные у кривых, показывают величину безразмерного коэффициента затухания ?.
§ IOJ ВЫНУЖДЕННЫЕ колебания С СОПРОТИВЛЕНИЕМ
93
Рассмотрим теперь случай, часто встречающийся в практике, когда амплитуда возмущающей силы H пропорциональна квадрату ее частоты со2. Это имеет место тогда, когда воздействие вращающихся масс пропорционально квадрату угловой скорости.
Рис. 45,
Итак, положим
Я = to2, (2.135)
где I — некоторая постоянная, размерность которой равна размерности обобщенной силы Q1 умноженной на квадрат размерности времени. Тогда
h — — со2 а
и амплитуда вынужденных колебаний
94 ЛИНЕИНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. II
Аналогом коэффициента динамичности к здесь является безразмерная величина ji, для которой дан график на рис. 46 *). Что касается постоянной величины /, то, хотя она и имеет размерность обобщенной координаты q, а следовательно, и
Рис. 46.
смещения, тем не менее она не является статическим смещением подобно величине, а. Амплитуда а* представлена в виде произведения р./ лишь в целях удобства исследования.
Заметим, что в приведенных выше примерах с вибрографом и торсиографом (стр. 71—73) мы имели именно рассмотренный сейчас случай при | — 0. При этом коэффициент ц равен:
и при очень большом z мы имели |i я= — 1.
Аналогичное условие должно выполняться в так называемых амортизирующих подвесках, предназначенных, напри-
*) Обобщенные понятия коэффициента динамичности на различные случаи зависимости амплитуды возмущения от частоты даны в статье А. Н. Обморшева «О коэффициенте динамичности», Научные доклады Высшей школы. Серия «Машиностроение и приборостроение», 1958, № 1, стр. 183—188.