Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Обморшев А.Н. -> "Введение в теорию колебаний " -> 23

Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.

Обморшев А.Н. Введение в теорию колебаний — Москва, 2000. — 278 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriukolebaniy2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 72 >> Следующая


синус в правой части в виде суммы

Sin(SGrf -|-S5) = Sin [(SGrf+ S5 є5) + Ei] =

= sin (sorf + S5 — є5) cos є5 -f- cos (sat + S5 — є5) sin es,

подставляя это разложение и решение (2.123) в уравнение (2.124), получим результат в следующем виде:

[а*(&2 — S2Co2) — Zz5 cos є5] sin(scirf +S5 — ^5) +

4 [2cyisco — /г^ sin є5] cos(sat + S5 — є5) = 0.
90 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. II

Это соотношение тождественно выполняется, если выражение в каждой квадратной скобке равно нулю. Отсюда легко находим

V(k2 — s2ti)2y + 4/z2s2co2 ’ 2/zsw

k2 — S2CO2

(2.125)

Резонанс получается при k, равном или кратном со, т. е. вообще при k — sco. Следовательно, число резонансных частот вообще бесконечно велико. Наиболее резко резонанс проявляется при совпадении основной круговой частоты со с k, а именно при s= 1. Однако теперь, в отличие от результатов, полученных ранее в § 8, вследствие наличия сопротивления никакого безграничного роста амплитуд ке будет.

Для исследования формул (2.125) рассмотрим, например, первую гармонику и ради упрощения индекс s = 1 отбросим. Здесь очень удобно перейти к безразмерным параметрам, к которым относится введенный выше (стр. 51, формула (2.49)) безразмерный коэффициент затухания

I = -b k

и безразмерная частота возмущающей силы

z = j. (2.126)

Разделим числители и знаменатели дробей в правых частях уравнений (2.125) на k2\ тогда, используя введенные обозначения, получим

a* = Xd, (2.127)

где

X = -T=L= (2.128)

у (і -г2у + 4*?*

и

^ = (2Л29)

Здесь X есть так называемый коэффициент, динамичности, представляющий собой число, на которое нужно умножить статическое смещение

d^-W = 1T (2ЛЗ°)
§ IOJ ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ С СОПРОТИВЛЕНИЕМ

91

для получения амплитуды вынужденных колебаний. Наличие множителя X обусловлено инерцией колеблющейся системы.

Рассматривая формулу (2.128), убеждаемся, что при z=\, т. е. в случае резонанса (a = k), коэффициент X имеет конечное значение:

Ьрез = -^-. (2.131)

при этом tg ерез = со и тогда

ерез = у. (2-132)

т. е. независимо от затухания. Случай S = O можно рассматривать как предельный, для которого при © = &, согласно (2.131), имеем Х = оо.

Если же совпадают частоты возмущающей силы и свободных затухающих колебаний, т. е. = — я2, или если

перейти к безразмерным величинам:

(2.133)

то тогда

X' = / -, tg е' = уТ—(2.134)

?/4-?* S f

Найдем экстремальное значение коэффициента динамично-

сти X [20]. Для этого будем искать экстремум подрадикаль-ного выражения в знаменателе (2.128):

у = (I — Z2)2 + 4 z2t2.

Имеем

-? = 0, г (4 Z2 — 4 + 8?2) = 0.

Получаем два решения:

Z1 = 0, = у і — 2?2-

Последнее решение имеет смысл лишь в случае S < 4=- •

V 2

Образуем вторую производную

-3- = 4(3^-1+2?) и рассмотрим отдельно оба решения:

I) Z = O,
92

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. II

Если С < -7= , ТО /2

У — Ушах’ ^ “ ^mIn = ^ >

f ^ 1

если же L, > -J=-, то

г 2

У ~ Уmln> ^ “ ^max ~ 1 ¦

2) z = V1 — 2^2>

-g- = 8(l-20>O,

следовательно,

У = Ут In

И

Ji__; ______!______

ти “ *

Легко убедиться, что в этом случае Xpe3 < Xmax- На рис. 44 представлена так называемая резонансная диаграмма или

график коэффициента динамичности л, а на рис. 45 — график сдвига фазы є. На этих рисунках числа, поставленные у кривых, показывают величину безразмерного коэффициента затухания ?.
§ IOJ ВЫНУЖДЕННЫЕ колебания С СОПРОТИВЛЕНИЕМ

93

Рассмотрим теперь случай, часто встречающийся в практике, когда амплитуда возмущающей силы H пропорциональна квадрату ее частоты со2. Это имеет место тогда, когда воздействие вращающихся масс пропорционально квадрату угловой скорости.

Рис. 45,

Итак, положим

Я = to2, (2.135)

где I — некоторая постоянная, размерность которой равна размерности обобщенной силы Q1 умноженной на квадрат размерности времени. Тогда

h — — со2 а

и амплитуда вынужденных колебаний
94 ЛИНЕИНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. II

Аналогом коэффициента динамичности к здесь является безразмерная величина ji, для которой дан график на рис. 46 *). Что касается постоянной величины /, то, хотя она и имеет размерность обобщенной координаты q, а следовательно, и

Рис. 46.

смещения, тем не менее она не является статическим смещением подобно величине, а. Амплитуда а* представлена в виде произведения р./ лишь в целях удобства исследования.

Заметим, что в приведенных выше примерах с вибрографом и торсиографом (стр. 71—73) мы имели именно рассмотренный сейчас случай при | — 0. При этом коэффициент ц равен:

и при очень большом z мы имели |i я= — 1.

Аналогичное условие должно выполняться в так называемых амортизирующих подвесках, предназначенных, напри-

*) Обобщенные понятия коэффициента динамичности на различные случаи зависимости амплитуды возмущения от частоты даны в статье А. Н. Обморшева «О коэффициенте динамичности», Научные доклады Высшей школы. Серия «Машиностроение и приборостроение», 1958, № 1, стр. 183—188.
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 72 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed