Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Переходя к градусному измерению углов, мы для первой
гармоники будем иметь аргументы синуса и косинуса соответственно равными:
, 180° 0 180° „ 180°
* ’ -"- I ^ * TI » ^ » • « •
для второй гармоники:
2. !.Ж, 2 • 2 • 2-3--1^1, ...
п ' п п
и т. д. Пусть, например, 2п = 24, тогда имеем соответстенно
S=I 15°, 30°, 45°...
S = 2 30°, 60°, 90°...
S = 3 45°, 90°, 135°...
Для полного расчета необходимо иметь заранее вычисленные значения косинусов и синусов этих углов. В таблицах 1 и 2 (стр. 77, 78) приведены указанные значения для S= 1, 2, 3, 4, 5, когда 2п = 24.
Имея численные значения ординат
Уо> Уі> У%’ • • • > Уъп'
которые могут быть, например, взяты из графика функции у = f (х), можно пользоваться непосредственно формулами (2.114). При этом, согласно сказанному выше, в приведенном ряде ординат опускаем либо первый, либо последний член. Для удобства вычисления члены сумм (2.114) целесообразно группировать так, чтобы собирать вместе слагаемые, имеющие одно и то же значение тригонометрической функции. Пользуясь методом Рунге и вводя обозначение
180°
6 Jl
:ле
ц о
мє
№
IHHE
1
2
З
4
5
б
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
ПРАКТИЧЕСКИЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
77
a I
ательных значений синусов
деления гармоники 1-го, 2-го, 3-го, 4-го н 5-го порядков У Перри
Для гармоники
1-го порядка 2-го порядка 3-го порядка 4-го порядка 5-го порядка
+0,259 +0,500 +0,707 +0,866 +0,966
+0,500 +0,866 +1,000 +0,866 +0,500
+0,707 +1,000 +0,707 0,000 —0,707
+0,866 +0,866 0,000 —0,866 —0,866
+0,966 +0,500 —0,707 —0,866 +0,259
+1,000 0,000 —1,000 0,000 +1,000
+0,966 —0,500 —0,707 +0,866 +0,259
+0,866 —0,866 0,000 +0,866 —0,866
+0,707 —1,000 +0,707 0,000 —0,707
+0,500 -0,866 +1,000 —0,866 +0,500
+0,259 —0,500 +0,707 —0,866 +0,966
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
—0,259 +0,500 —0,707 +0,866 —0,966
—0,500 +0,866 —1,000 +0,866 —0,500
0,707 +1,000 —0,707 0,000 +0,707
—0,866 +0,866 0,000 —0,866 +0,866
—0,966 +0,500 +0,707 —0,866 —0,259
—1,000 0,000 +1,000 0,000 —1,000
—0,966 —0,500 +0,707 +0,866 —0,259
—0,866 —0,866 0,000 +0,866 +0,866
—0,707 —1,000 —0,707 0,000 +0,707
—0,500 —0,866 —1,000 —0,866 —0,500
—0,256 —0,500 —0,707 —0,866 —0,966
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
№
.ина
I
2
З
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
СИСТЕМЫ C одной СТЕПЕНЬЮ
а 2
ательиых значений косинусов
деления гармоники 1-го, 2-го, 3-го, 4-го и 5-г
У Перри
Для гармоники
-го порядка 2-го порядка 3-го порядка 4-го порядка
+0,966 +0,866 +0,707 +0,500
+0,866 +0,500 0,000 —0,500
+0,707 0,000 —0,707 —1,000
+0,505 —0,500 —1,000 —0,500
+0,259 —0,866 —0,707 +0,500
0,000 —1,000 0,000 +1,000
—0,259 —0,866 +0,707 +0,500
—0,500 —0,500 +1,000 —0,500
—0,707 0,000 +0,707 —1,000
—0,866 +0,500 0,000 —0,500
—0,966 +0,866 —0,707 +0,500
—1,000 +1,000 —1,000 +1,000
—0,966 +0,866 —0,707 +0,500
—0,866 +0,500 0,000 —0,500
—0,707 0,000 +0,707 —1,000
—0,500 —0,500 +1,000 —0,500
—0,259 —0,866 +0,707 +0,500
0,000 —1,000 0,000 +1,000
+0,259 —0,866 —0,707 +0,500
+0,500 —0,500 —1,000 —0,500
+0,707 0,000 —0,707 —1,000
+0,866 +0,500 0,000 —0,500
+0,966 +0,866 +0,707 +0,500
+1,000 +1,000 +1,000 +1,000
ПРАКТИЧЕСКИЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
79
переписываем формулы (2.114) следующим образом: nas — у0 -J- у, cos sa -J- у2 cos 2sa -j- ...
• • • +У2/1-2 cos(2« — 2) sa + у2я-і cos(2« —I) sa, nbs = Ji1Sin sa + y2 sin2sa + ... (2.115)
У2Я-2 sin(2«— 2) sa+ y2n-i sin (2ti — I) sa.
При этом предполагаем, что k изменяется от О до 2«—1 и что s < п. Так как 2«а = 360°, имеем
cos (2п — т) sa = cos /rasa,
sin (2п — п) sa = — sin msa.
Иначе говоря, косинусные множители членов, равноотстоящие от начала и конца суммы, не считая члена у0, равны между собой, а синусные множители различаются только знаком. Таким образом, если выписать две строки чисел yk, а также нх суммы и разности
Уо Уі У 2 ••• Ул-2 Ул-1 У,і
У211-1 У211-2 У ,Ih 2 Уя M
U0 U 2 ... Uti- 2 ^Я—I Usi
Vi V2 ... Vn_2 1/„_,
где
uO = У0’ н1 = Уі + У2я-1.........Мя-1 — Уя-! + У„ м, U11 = У„,
"yI= Уі Угя-i..........— У;з-i Уяч 1'
то будем иметь:
— M0+ M1 cos sa + U2 cos 2sa + . . .
. .. -f- ип_х cos (п — I) sa +- ип cos «sa, nbs = V1 sinsa + t»2 sin 2sa+ ... +I^1 sin (я—l)sa.
В зависимости от конкретных значений п и s возможно дальнейшее упрощение путем группирования членов, поскольку опять будут встречаться численно равные тригонометрические функции. Для этой цели существуют даже специально разработанные вычислительные схемы, которые мы, однако, приводить не будем и ограничимся пояснениями расчета на примере.
He останавливаясь на подробностях, упомянем, что вычислительную работу можно также упростить путем применения
80
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. II
специальных шаблонов в виде карточек с прямоугольными отверстиями. Эти шаблоны накладываются на заранее заготовленный лист с таблицей встречающихся в разложении значений синусов и косинусов так, что нужные значения этих функций выступают в отверстиях и умножаются на соответствующие ординаты кривой, после чего производится суммирование *).
