Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Преобразуя, далее, разность синусов sin (kt -)-б) — sin (со^-)-6) = 2 cos ^ t -(- sin
и применяя введенные обозначения, окончательно приводим решение (2.102) к такому виду
Здесь первые два члена правой части определяют собой гармоническое колебание с круговой частотой k. Исследуем последний член. Если є — величина очень малая, то sins^
как амплитуду, получим колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Таким образом, третий член определяет биения, круговая частота которых равна (к — е) и период
Гармонический закон этих колебаний нарушен вследствие изменения, хотя и медленного, самой амплитуды. Половина полного периода колебаний амплитуды называется периодом биений:
л 2л . . 2xt * ^
= 7 = ПРИ k>® и = пРи *<«•
Объединяя, получим
Таким образом, колебания, изображаемые третьим членом уравнения (2.104), графически представляются искаженной синусоидой периода T1, записанной в синусоиду периода 2т2 (рис. 33).
Обратимся, наконец, к тому случаю, когда частоты собственных и вынужденных колебаний равны друг другу, т. е.
cos К* — е) t -f б] sin zt. (2.104)
, h cos 6 1.,,
^ YkJiT-z) Ismkf-h
70 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. Il
к случаю резонанса. Будем рассматривать этот случай как предельный, когда е->0. Раскрывая неопределенность в последнем члене уравнения (2.104), где для любого заданного
интервала t выбираем є таким образом, чтобы произведение et
было сколько угодно мало. Тогда
.. / sin et \ (
Iim = 1,
е<-> о \ /
и мы имеем
q — q°cos kt -j- sin kt+ sin kt — ^tcos (kt -f б).
(2.107)
При неограниченном возрастании t последний член правой части уравнения (2.107) неограниченно увеличивается. Он называется секулярным или вековым членом решения. Вследствие этого получаем колебания с неограниченно возрастающей амплитудой. Итак, резонанс имеет место при совпадении частоты собственных колебаний с частотой возмущающей силы и характеризуется неограниченным ростом амплитуды. Можно убедиться непосредственной подстановкой, что секу-лярный член является частным решением уравнения
q + k2q = h sin (at + б) (2.108)
при со = k. Кроме того, нетрудно видеть, что при этом он может быть выражен в таком виде
q* = -^tsm(kt + б—J), (2.109)
откуда следует, что при резонансе имеем сдвиг фазы я/2. Колебания, определяемые уравнением (2.109), изображаются
§ 8] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ БЕЗ СОПРОТИВЛЕНИЯ 71
графически искаженной синусоидой, вписанной в угол, биссектрисой которого служит ось времени t (рис. 34).
Практически условия резонанса выполняются при непрерывном изменении возмущающей частоты со, что имеет место, например, при разгоне или торможении двигателя на упругом основании. При постоянстве со чаще встречаются биения, которые при большом периоде T2 в течение нескольких размахов достаточно близки к резонансу, являющемуся их пределом. Приведенный вывод уравнения (2.109) соответствует именно такой точке зрения.
Уравнение (2.109) можно вывести также из решения q = A cos kt + В sin kt
методом вариации постоянных интегрирования А и В при сo = k, а также раскрытием неопределенности по правилу Лопиталя из решения (2.102).
В чистом виде резонанс не осуществляется, практически всегда имеются силы сопротивления, навливающие рост амплитуд.
так как приоста-
O
О
а
Резонанс можно объяснить непрерывным поступлением энергии в колеблющуюся систему от какого-то возбудителя через посредство возмущающей силы, когда этот возбудитель действует в такт с колебанием тела.
Резонансом объясняются сильные колебания фундаментов машин, вибрации частей самолетов, мостов и т. п.
Пример 1. Виброграф для записи вертикальных колебаний.
Принципиальная схема вибрографа изображена иа рис. 35, а, б. Подставка В совершает вертикальные колебания вместе с испытуемым телом. С этой подставкой соединена рамка А, несущая на
-Jy
х
б/
12
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. Il
пружине С сейсмическую или инертную массу М, смещение которой от положения статического равновесия О в неподвижной системе отсчета есть х, тогда как смещение рамки равно у. Допустим для простоты, что рамка колеблется по гармоническому закону
у = s sin orf,
где s — амплитуда колебаний испытуемого тела, и что силы сопротивления отсутствуют; тогда уравнение движения сейсмической массы в неподвижной системе отсчета имеет вид
тх = — с (х — у),
где с — коэффициент жесткости пружины.
Так как нас интересует запись вибрографа, осуществляемая на барабане D, связанным с подвижной рамкой, определим относительное смещение z в этой последней:
Z = X — у.
Тогда
X = 2-}- у = Z — Sffl2 Sin СOt и уравнение примет вид
mz -j-CZ = MSffl2 sin at.
Вводя обозначения
— = /г2, so)2 = h, т
получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний в канонической форме
z -|- к2г = h sin сot.
Вследствие неизбежности сопротивлений, пусть небольших, собственные колебания гаснут, и при малом сопротивлении виброграф запишет колебания:
Z* = S-г-ргї------- sin ®t-
