Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим вопрос о том, какими следует выбрать параметры вибрографа с минимальным искажением записи исследуемых колебаний. Прежде всего, очевидно, необходимо, чтобы ^Hffl отличались друг от друга. Если k ^>> м, то z* оказывается величиной очень малой, и записи колебаний почти не будет. Желательно сделать k со, что имеет место при малой жесткости с и большой массе т. Тогда
(Ir*»
§ 8] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ БЕЗ СОПРОТИВЛЕНИЯ 73
Знак минус показывает, что колебания груза по отношению к фундаменту прямо противоположны колебаниям фундамента, т. е. груз остается почти неподвижным в пространстве. Если считать, что в законе колебаний рамки присутствуют высшие гармоники, то при удовлетворении требования к а тем более удовлетворяется требование к Na, где N — номер гармоники. Запись будет достаточно точно воспроизводить вибрации основания. Конечно, сопротивления несколько искажают этот простой закон.
П р и м е р 2. Торсиограф — прибор, предназначенный для записи крутильных колебаний валов. Прибор (рис. 36) состоит из кожуха А, маховичка M и спиральной пружины С, соединяющей маховичок с валом В, колебания которого требуется записать. Если обозначить через ф угол поворота вала и через i|) угол поворота маховичка, то дифференциальное уравнение вращательного движения этого последнего будет иметь вид
/? = — с (г|з — ф),
где/—момент инерции маховичка, с — коэффициент жесткости спиральной пружины.
Введем разность углов # = ф — ф, регистрируемую торсиографом, и предположим, что вал вращается
в среднем равномерно с угловой скоростью (о0, но на это вращение наложены гармонические колебания, т. е.
ф = O0^ -]- ст sin orf, где а — амплитуда гармонических колебаний вала. Тогда {[) = # -]- ф = ft — сто2 sin orf, и дифференциальное уравнение примет вид /# сд = /да2 sin orf
или
# -|- к2® = h sin at,
где
к2 = у, h — аш2.
Рис. 36.
Получаем решеиие того же типа, что и для вибрографа: #* = ст —ТГГ5---------------------------sin ю*.
4 -¦
74
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. II
относительно которого можно повторить все основные выводы, сделанные в предыдущем примере. Интересно отметить, что здесь мы имеем колебания не около равновесного состояния, а относительно некоторого установившегося движения.
§ 9. ПРАКТИЧЕСКИЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
В предыдущем параграфе периодическое внешнее возмущение было представлено в виде ряда Фурье, коэффициенты которого вычисляются по интегральным формулам, выводимым в курсе математического анализа. Непосредственное выполнение квадратуры при вычислении этих коэффициентов может быть не только весьма трудным, но даже — при более или менее сложном виде разлагаемой функции — в конечной форме невыполнимым. К этому надо добавить, что аналитическое выражение возмущающей функции часто вообще бывает неизвестно, и она задается либо графически, как, например, в самопишущем приборе, либо численно для определенных значений аргумента.
Указанные соображения привели к разработке специальных методов вычисления коэффициентов Фурье, преследующих цель заменять точные их значения удовлетворительными приближенными значениями, получение которых было бы достаточно легко выполнимо. Эти методы, составляющие предмет практического гармонического анализа, как прикладной отрасли математики, можно подразделить на три группы.
A. Арифметические методы, в которых интегралы заменяются конечными суммами, вычисляемыми по определенным правилам.
B. Графические методы, в основе которых лежит графическое интегрирование функций.
В. Механические методы, использующие особые приборы, называемые гармоническими анализаторами.
Практическому гармоническому анализу посвящена специальная литература и здесь мы рассмотрим лишь по одному примеру на каждый из перечисленных методов *).
А. Арифметический метод
Арифметический метод или метод суммирования, предложенный Перри, сводится к простому вычислению сумм, аппроксимирующих интегралы в коэффициентах Фурье (2.89)
*) Обстоятельному изложению этих методов посвящена книга [23J,
§ 9] Практический гармонический анализ
75
разложения (2.88). Предположим, что разлагаемая функция г[)(^) представлена графически. Изменим масштаб по оси абсцисс так, чтобы период был равен 2л. Для этого положим
X==Oit, (2.110)
где со — частота периодической функции и обозначим
?(0 = /(*). (2.111) Пусть уравнение разлагаемой кривой (рис. 37) имеет вид
у = f(x), (2.112)
тогда
/(л+ 2л) = fix).
Разделим полный период на 2п равных частей. Тогда точные
формулы (2.89), принимающие вид
2я
а
=ї-i/w
о
2я
= ^ J/W
cos Sx dx.
sin sx dx,
заменятся приближенными:
In
I V
aOssH 2*Ук zossxX' k=i 2 п
Ь>= H E sln sx^
A = I
(2.113)
(2.114)
76
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. II
где S = O, I, 2, xk = k — . Таким образом, здесь кривая заменяется ступенчатой линией, и для каждого интервала берется конечная ордината yk. Можно с таким же правом взять не конечную, а начальную ординату или, заменяя прямоугольники трапециями, брать среднее арифметическое длин начальной и конечной ординат каждого интервала линий.
