Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Обморшев А.Н. -> "Введение в теорию колебаний " -> 13

Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.

Обморшев А.Н. Введение в теорию колебаний — Москва, 2000. — 278 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriukolebaniy2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 72 >> Следующая


Пример 2. Астатический маятник (рис. 18).

Такой маятник иногда применяется в сейсмографах, где необходимо иметь чувствительный элемент, реагирующий на возмущения очень большого периода и не реагирующий на возмущения малого периода. Прибор состоит из обращен-двумя пружинами равной жест-

кого маятника, поддерживаемого кости с0. Подобно предыдущему находим

T =\г Уф2, П = — Ph (I — cos ф) -(- 2

Co (/<Р)2

Разлагая косинус в степенной ряд и ограничиваясь малыми второго порядка, имеем

П = 4-(2с°ls~Ph) Ф2.
ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ

49

Приведенный коэффициент жесткости с = 2 C0I2 — Ph

может быть отрицательным при соответствующем соотношении параметров; тогда система оказывается неустойчивой. Если же с > 0, то для периода получаем

т = 2я |/" 2Со/2_р/г •

Итак, вес маятника в значительной степени увеличивает период т и может привести систему к апериодичности. Однако апериодичность будет знаменовать собою также переход в неустойчивую область.

§ 6. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ

Затухающие колебания имеют место при наличии сил сопротивления, гасящих свободные колебания. Выше (стр. 20) уже давалась характеристика основных видов сопротивления, из которых мы остановимся здесь на линейном сопротивлении. На основании уравнения (2.1) для данного случая

дифференциальное уравнение движения напишем в таком виде

aq -)-- bq-\- cq = 0. (2.37)

Оставляя в силе обозначение (2.10) для к2, где уже k

следует назвать круговой частотой незатухающих колебаний,

введем еще обозначение

2 д = А, (2.38)

где и — так называемый коэффициент затухания. Приведем теперь уравнение затухающих движений (не обязательно колебаний!) к канонической форме

q-\-2nq+k2q = 0. (2.39)

Общее решение этого уравнения, как известно, имеет вид

<7 = CxeXit -)- С2е1^, (2.40)

где A,j и X2 — корни характеристического уравнения

А,2+2/Л+?2 = 0, (2.41)

именно

2 = — п ± Ytl2 — k2.

4 А. Н. Обморшев
50 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. II

Здесь различаются следующие три случая:

а) п < k — случай малого сопротивления;

б) я>&—случай большого сопротивления;

в) n = k — случай критического сопротивления. Рассмотрим каждый случай в отдельности.

а) п < к. Введем обозначение

V= ]//е2 — л2, (2.42)

вследствие чего

^il2 =— n + iv, (2.43)

где і = Y—1. Тогда, как известно, решение (2.40) примет вид

q — e~nt (A cos -f- 5 sin vfy (2.44)

или, если ввести обозначения (2.14):

q = ae~nt sin (W~j-13). (2.45)

Получили уравнение затухающих колебаний, график которых изображен на рис. 19. Здесь периодичность в строгом понимании отсутствует, поскольку нет полного воспроизводства

движения. В то же время переходы координаты q через нуль регулярно чередуются через одинаковые промежутки времени. Назовем поэтому условным периодом г промежу-
§61

ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ

SI

ток времени между двумя последовательными прохождениями системы через положение равновесия в одном и том же направлении. Тогда имеем

__ 2я_

V ’

или

где

VT-

(2.46)

(2.47)

T0 = ~ (2.48)

k

есть период незатухающих колебаний, а

? = | (2.49)

— так называемый безразмерный коэффициент затухания. Разлагая в формуле (2.47) выражение (I —в биномиальный ряд и ограничиваясь двумя первыми членами разложения, получим приближенное значение периода затухающих колебаний

^^(і+уС2). (2.50)

Отсюда видим, что небольшое затухание мало влияет на период, несколько увеличивая его. Далее найдем моменты времени, когда отклонения достигают наибольшего по абсолютной величине значения; эти наибольшие значения и будут амплитудами затухающих колебаний. Для этого образуем производную q и приравняем ее нулю:

q — ae~nl [— п sin (vtР) -j- v cos (v^ —f- (3)] = 0,

откуда

tg(v*+P) = ?.

Обозначая через ^1, t2, .... tN моменты времени, когда имеют место наибольшие отклонения в какую-либо одну

сторону от равновесного положения, а через Ct1, Ct2.....aN

соответствующие амплитуды, имеем

tN-

'=V(arctS TT-f3)+^- (2-51)

где N — 0, 1, 2, 3, ...

4*
52

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. II

Итак, эти моменты образуют арифметическую прогрессию с разностью 2it/v, или т. Тогда

OLff=Cte n>N IS І П (V^jv -f- Р) I, aAr+i = ae'n(<JV+x)|sin(v^4- 2тс -[- |3) |.

Отношение

ц = -ІУ—=епх (2.52)

aN + \

называется декрементом колебаний, т. е. амплитуды образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем

р = е~пх.

Натуральный логарифм величины rj называется логарифмическим декрементом колебаний *)

Л = 1пт| = «т. (2.53)

Пользуясь формулами (2.47), (2.48), (2,49), Л можно представить еще так:

Л — 2lt^

YT=rP'

откуда

?=-, ^ (2.54)

V 4я2 + Л2 '

Эта формула имеет практическое значение, так как, найдя из наблюдений затухающих колебаний знаменатель прогрессии, а следовательно, и Л, можно вычислить ?. Далее, определив расчетным путем k, легко найти коэффициент зату-

хания п.

б) Обратимся.теперь к случаю п > k. Здесь корни характеристического уравнения (2.41) вещественные. Для удобства положим
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 72 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed