Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, считая Ъ < О, вместо обозначения (2.38) положим
2 = (2.77)
НАРАСТАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
61
где п' > 0. Тогда решения (2.45) и (2.58) соответственно примут вид
q = аеп’1 sin (v/ —|3) (2.78)
при п! > k, причем V=Vk2 — п'2 ;
q = аеп’*¦ sh (и/ 15)
(2.79)
при п' > к, причем и = Vn'2— k2. Поскольку экспонента еп’1 является неограниченно возрастающей функцией, то уравнения (2.78) и (2.79) определяют собой нарастающее колебательное движение (рис. 27) и нарастающее апериодическое
Рис. 27.
Рис 28.
движение соответственно (рис. 28). В первом случае можно говорить об условном периоде в прежнем смысле, а также об инкременте колебаний:
— Ъш. — еп'х (2.80)
N
и о логарифмическом инкременте Л' = Inr]' = п'х.
(2.81)
Во втором случае (при n' > k) опять получаем графики трех типов: кривая / соответствует «толчку вперед», кривая II— «слабому толчку назад», кривая /// — «сильному толчку назад». Критический случай n' = k может быть рассмотрен таким же образом, как это было сделано при положительном
62
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. Il
сопротивлении, когда n = k. Здесь на этом случае останавливаться не будем.
Обратимся к представлению движения на фазовой плоскости. Все изложенное применительно к случаю п > О
(стр. 54—59) остается в силе и здесь, конечно, с поправкой на знак. Так, для случая tt' < k уравнение (2.69) дает
р = Ce
-—в
V
Следовательно, в декартовых координатах аналогично (2.64) имеем
' _ ^ у-п’х
у‘—2п'ху + k2x2 = Ce v . (2.82)
Уравнение (2.82) определяет собой семейство раскручивающихся спиралей (рис. 29). Особая точка есть неустойчивый фокус. В случае tt' > k вместо (2.75) имеем
п’-к
Т1=±С|?|»’+* и вместо (2.71) соответственно
- (п! -)- к) х
2п'ху + k2x2 = ±С
Tl'
К
(2.83)
у — (п’ — х) х
Уравнение (2.83) определяет собой семейство кривых, уходящих из начала в бесконечность (рис. 30). Особая точка есть неустойчивый узел,
НАРАСТАЮЩИЕ колебания
63
Пример. Рассмотрим так называемую модель Ван-двр-Поля (рис. 31). На шероховатой ленте, приводимой в равномерное движение со скоростью V0 шкивами А и В, лежит груз D. Этот груз связан двумя одинаковыми пружинами C1 и C2 суммарной жесткости с с неподвижными точками. Исследуем движение груза с учетом реальной характеристики сухого трения F (рис. 32).
Рис. 32.
Принимая за координату х отклонение груза от среднего положения, дифференциальное уравнение движения можно записать в таком виде
nix + b'x-)-сх = F (v0 — х),
где сила сухого трения F (v0 — х) есть функция относительно скорости груза и ленты. Разлагая эту функцию в ряд Тейлора в окрестности скорости V0 и ограничиваясь линейным приближением, имеем
F(v0 — x) = F (i/0) — icF' (V0)1
где F' (i/0) есть наклон характеристики в точке w0, который может быть положительным, отрицательным и нулевым, как это видно из рисунка. Уравнение движения принимает вид
тх 4- [b + F' (t/0)] х-\- сх = F (V0).
Далее введем преобразование координаты, положив
X = X0 + г,
где X0 — статическое отклонение груза, находимое из условия
CX0 = F (W0).
(*)
Деля обе части уравнения (*) движения на т и вводя обозначения
Ь + F' (у0) ^ = ?.
т т’
2л =
окончательно получаем
64
Линейные системы с одной степенью своьоды [гл и
При этом в зависимости от величины и знака F' (V0) могут представиться следующие случаи:
1) 0 < п < k — затухающие колебания, особая точка — устой-
чивый фокус;
2) 0 < k < п — затухающее апериодическое движение, особая
точка—устойчивый узел;
3) п = 0 — гармонические колебания; особая точка — центр;
4) п< О, причем \n\<k — нарастающие колебания; осо-
бая точка — неустойчивый фокус;
5) п < 0, но I п I > k — нарастающее апериодическое дви-
жение, особая точка — неустойчивый узел.
Сюда можно было бы добавить два критических случая: a) k = n> 0 — переход от 1-го случая к 2-му.
6) —n = k> 0 — переход от 4-го случая к 5-му.
Напомним, что при рассмотрении данной задачи мы ограничились линейным приближением при разложении функции F в степенной ряд, поэтому все изложенное верно лишь при малых колебаниях груза.
§ 8. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЕЗ СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКОМ ВОЗМУЩЕНИИ
В реальных системах всегда имеется сопротивление. Однако, вследствие малости часто им можно пренебречь.
Тогда дифференциальное уравнение (2.1) принимает вид
aq-]- cq = Q, (2.84)
где Q — возмущающая сила. Предположим, что эта сила есть периодическая, изменяющаяся вообще по произвольному периодическому закону. Разделим все члены уравнений (2.84) на а и, кроме (2.10), введем еще обозначение
? = m (2.85)
где i|)(f) есть так называемая возмущающая функция,
имеющая некоторый период т, т. е.
ф (1?-|-т) = ф(1?).
Величину
CO = ^- (2.86)
назовем основной частотой изменения возмущающей силы. Тогда уравнение (2.84) примет вид
Я + *20= Ф (0* (2-87)
§ 8] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ БЕЗ СОПРОТИВЛЕНИЯ 65
Опираясь на физические факты, имеем право предположить, что функция ф(^) удовлетворяет условиям Дирихле, т. е. эта функция ограничена, может иметь разрывы лишь первого рода и в конечном интервале имеет конечное число экстремальных значений. Ho тогда эта функция может быть разложена в ряд Фурье:
