Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
7 Gd* ’
где D — диаметр пружины витка, і — число витков, d — диаметр сечения витка, G— модуль упругости второго рода. Тогда из (2.19), (2.20) найдем
N я 2,5
= 2л D
8 PDH
V Ggd і/ж;
V 2PDi
сек,
колеб/сек.
Пример 3. Крутильные колебания груза на упругом невесомом стержне круглого сечения. Принимая за обобщенную координату угол закручивания ф (рис. 14), который вообще равен
Мкр1
V = -GT'
§4]
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
41
найдем
О
П = —
J
ф
Здесь У —момент инерции массы подвешенного груза относительно оси г, I—длина стержня, G — его модуль упругости второго рода, Ip—момент инерции площади поперечного сечения относительно оси Z.
Следовательно, в этом случае имеем
Пусть на конце круглого стального стержня длиной I = 100 см и диаметром d = 1 см насажен стальной диск диаметром D — 10 см и толщиной h = 2 см; удельный вес стали у = 7,8 г/см3; модуль (7 = 8-105 кг/см2. Так как в этом случае
§ 4. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Выше (стр. 34) уже упоминалось, что при рассмотрении электрических систем в качестве обобщенных координат принимаются количества электричества q, а в качестве обобщенных скоростей — сила тока г. Покажем, что поведение простого электрического контура описывается таким же
PD2 Ttdi
8 g ’ р~ 32 ’
то формулу для периода т можно преобразовать так:
или
Подставляя заданные численные значения, получаем
и
42 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. II
уравнением (2.1), как и механическая система *). Допустим имеется контур (рис. 15), содержащий емкость С, индуктивность L, активное (омическое) сопротивление R и источник энергии Е; этим буквам мы будем приписывать не только обозначения элементов контура, но и значение соответствующих величин.
Напишем выражения разности потенциалов в точках 1, 2, 3, 4
Li
Рис. 15.
V1-V2
1
Vi-Vi
V2-V3--RL
, di Ht'
Суммарное падение потенциала компенсируется электродвижущей силой E:
Имея в виду, что
V1
dq
Ht '
Vi = E.
(2.24)
окончательно получим следующее дифференциальное уравнение:
Lq + Rq + -Q Q =E,
(2.25)
имеющее вид уравнения (2.1).
Итак, можно установить электромеханическую аналогию:
механическая система обобщенная координата q
обобщенная скорость q коэффициент инерции а коэффициент сопротивления Ь
коэффицент жесткости с
возмущающая сила Q
электрическая система количество электричества (заряд) q сила тока і индуктивность L активное сопротивление R
обратная величина емкости включенная э. д. с. Е.
Умножив все члены уравнения (2.25) на силу тока I, получим соответствующие мощности. При этом
W = Ei (2.26)
*) О распространении общей теории колебаний на электрические и электромеханические системы подробно изложено в книге [6].
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
43
есть мощность включенного источника энергии (возмущающей силы). Далее,
Lqi = (у Ll2) > R<11 = ^2- ~с cIl — ~dt (т Cr ^2) •
Здесь выражение
T = -LP (2.27)
представляет собой электромагнитную энергию, которая является аналогом кинетической энергии механической системы. Электростатическая энергия
П = j А?2 (2.28)
есть аналог потенциальной энергии и, наконец,
Ф = -i Rf (2.29)
— аналог функции рассеяния. Окончательно находим уже известное нам обобщенное уравнение энергии (1.25):
А(7_)_П)-)-2Ф=^,
откуда получаются частные случаи, аналогичные рассмотренным в механических системах. Например, при R = O1E = Q1 имеем консервативную систему, для которой
T -)- П == const.
В этом случае применение формул (2.10) и (2.17) приводит нас к формуле Томсона
т — 2я УПС. (2.30)
Пример 1. Определить период колебаний тока при разряде в контуре, содержащем лишь конденсатор и индуктивность (рис. 8), если L = 2 генри, С = 0,005 микрофарады.
По формуле (2.30) находим:
т = 2л У 2 • 5 • IO-9 = 2я • IO'4 сек,
или
N = — = 1,6 • IO3 колеб/сек.
44
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. II
§ 5. ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ
Допустим, что в уравнении (2.9) коэффициент жесткости с зависит от некоторого параметра X, определяемого, например, конструкцией системы, следовательно,
с = с (X).
Допустим, далее, что при изменении X величина с может, перейдя через нуль, стать отрицательной. При с — 0 уравнение (2.9) дает нам
<7 = 0,
т. е. в первом приближении система находится в безразличном равновесии. Однако, во-первых, при сообщении системе начальной скорости она может уйти от начального положения сколь угодно далеко, так как решение данного уравнения имеет вид;
q = C\t~f- C2,
т. е. система, будучи устойчива относительно статических возмущений (начальное отклонение), неустойчива относительно кинематических возмущений (начальные скорости). Во-вторых, для получения правильной картины должен быть учтен эффект отброшенных членов, если таковые были в разложении потенциальной энергии. Если при дальнейшем изменении X величина с становится отрицательной, то, согласно теоремам Ляпупова, равновесие оказывается неустойчивым. Случай с = 0 называется критическим случаем, а соответствующее значение X = X0, при котором
