Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
85
На этих рисунках даиы полные построения для определения коэффициентов первой гармоники (причем получается ах <0, Ь\ < 0), а также указано построение, соответствующее коэффициентам третьей гармоники.
В. Механический метод
В механических методах определение коэффициентов Фурье выполняется с помощью специальных приборов — гармонических анализаторов, действующих по тому же принципу, что и планиметр. Рассмотрим один из употребительных приборов этого рода — гармонический анализатор Геириди — Коради. Для последующего расчета обратимся к выражениям коэффициентов Фурье (2.89), полагая
Выполняя интегрирование по частям и принимая во внимание обращение в нуль подстановки, подобно тому, как это имело место в формулах (2.116), получим
Обратимся к описанию прибора, пространственная схема которого представлена на рис. 41, а вид в плане иа рис. 42.
Прибор состоит из рамы Р, снабженной колесиками E1, E2 и D, которая ставится иа плоскость ху так, что ось L, несущая колесики E1, E2, остается все время параллельной оси Ох. Рама может таким образом перемещаться только
t = x, (t) = у = / (х), т = /, CO =-у-,
найдем
і
о
о
Ь V
о
I
(2.118)
о
86
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ II
параллельно оси Oy. На раме помещается подвижная каретка W, снабженная штифтом F, имеющая возможность перемещаться параллельно оси Олт, причем полный ход каретки
ограничен и равен некоторой длине I, к которой и необходимо привести базис анализируемой кривой. При обходе штифтом кривой y = f (х) одновременно перемещается рама и каретка; элементарное перемещение первой из них равно dy, второй — dx.
Движение каретки с помощью серебряной проволоки // передается шкиву Н, насаженному на стержень 5, связанный с интегрирующим аппаратом Q; этих аппаратов бывает в раме несколько в соответствии с числом получаемых гармоник.
§ 9] ПРАКТИЧЕСКИЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
87
Передача устроена так, что в то время, как каретка перемещается на полное расстояние /, шкив H совершает s оборотов, где s — порядок гармоники. При перемещении каретки
на расстояние х интегрирующий аппарат, изображенный отдельно на рис. 43, поворачивается на угол
V = S^x. (2.119)
Перемещение рамы передается цилиндрическому шкиву С, укрепленному на оси L и имеющему диаметр, несколько меньший, чем диаметр колесиков E1, E2. Посредством этого шкива поворачивается стеклянный шар О, который имеет диаметр, равный диаметру шкива С. Этот шар расположен внутри интегрирующего аппарата таким образом, что качается в двух точках своего большого‘горизонтального круга измерительных роликов Rs и Rc, которым он передает свое вращение, прижимаясь к ним под действием пружинящего ролика т. В начальный момент прибор устанавливается так, что ось ролика Rs параллельна оси Ох, а ось ролика Rc ей перпендикулярна.
Если обозначить радиус шара через R, радиус измерительного ролика через г и радиус колесика E1 или E^ через р,
88 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ 11
то при перемещении рамы P на величину dy шар G повернется вокруг оси, параллельной Ох, на угол
тогда при произвольном значении угла ¦&, как видно из рис. 43, элементарные углы поворота шкивов Rc и Rs будут соответственно таковы:
R R
й?г])с == — sin ¦& d%, dtys —-Losftdx.
Подставляя сюда значения ¦& и d% и интегрируя, получим
Сравнивая эти формулы с формулами (2.118), находим
есть константа прибора.
§ 10. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ С ЛИНЕЙНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКОМ ВОЗМУЩЕНИИ
Как было сказано в § 8, при рассмотрении вынужденных колебаний часто оказывается возможным пренебрегать сопротивлением, конечно, когда оно достаточно мало. Однако в ряде случаев такое пренебрежение может исказить результаты исследования не только в количественном, но также и в качественном отношении. В особенности это имеет место в областях, близких к резонансу, где учет сопротивления крайне необходим.
Рассматривая общий случай линейной системы с произвольным периодическим возмущением, разделим все члены
о
о
(2.120)
где
(2.121)
§ 10] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ С СОПРОТИВЛЕНИЕМ
89
уравнения (2.1) на а и введем обозначения (2.10), (2.38) и (2.85). Тогда уравнение движения примет вид
q -)- 2nq -)- k2q = ty(t), (2.122)
где для возмущающей функции \])(г?) останутся в силе соот-
ношения (2.86), (2.88) и (2.89).
Общее решение уравнения (2.122) выразится по-прежнему формулой (2.94), только теперь q будет иметь иной вид. Именно, при п < k
q — ae~nt sin (\t -)- (5), где V=Yk2 — ft2, а при іг > k
q = ae~nt sh (nt -f p),
где У. — у и1- — k2, как это следует из решений (2.45) и (2.58). В первом случае (п < k) имеем затухающие колебания,
во втором (ft > k) — затухающее апериодическое движение.
Далее будем искать парциальное частное решение уравнения (2.122) в виде
<7* = а5 sin (SGrf-I-Sj-є^), (2.123)
где а5 — амплитуда s-й гармоники вынужденных колебаний, a є5— соответствующий сдвиг фазы. Представляя в уравнении
q-\- 2nq-\-k2q = AjSin (sorf + S5) (2.124)
