Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
с (Xn) = 0,
называется бифуркационным значением Я*).
Рассмотрим теперь поведение системы в окрестности положения неустойчивого равновесия. Введя вместо (2.10) обозначение
к2 = — — , (2.31)
а 4
Где к2 > 0, приводим уравнение (2.9) к виду:
q — K24 = O. (2.32)
*) Подробнее об этом см. в книге [’].
§5]
ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ
45
Решение этого уравнения может быть выражено либо через показательные, либо через гиперболические функции:
He останавливаясь на элементарной задаче определения произвольных постоянных А и В, заметим, что движение всегда будет расходящимся, кроме такой комбинации начальных условий, при которой B =—А. Тогда
т. е. асимптотически затухающее апериодическое движение. Это будет иметь место лишь в том случае, когда начальное отклонение и скорость удовлетворяют условию
что вообще физически не осуществимо.
При отрицательном с можно интерпретировать движение системы, как движение под действием силы отталкивания, линейно зависящей от отклонения точки. В рассмотренном частном случае при с = 0 и при условии (а), уподобляя систему точке, можно сказать, что точка выведена из положения равновесия и получила соответственно подобранную начальную скорость по направлению к этому положению.
Построим фазовую диаграмму движений (рис. 16). Пусть в качестве обобщенной координаты принято отклонение х, тогда соответствующее преобразование уравнения (2.32) дает:
Интегрируя и вводя для удобства постоянную интеграции
q = A ch nt -f- В sh nt,
(2.33)
где
ch= (еи* -f sh%t = ~(eM — е~м), (2.34)
или
q = ashР),
(2.35)
если положить
A = a sh р, S = CtChp.
(2.36)
q = Ae~Kt,
(а)
откуда
46
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. II
с двойным знаком, получаем уравнение фазовых траекторий:
\}2
X2 — ± С2.
JC2
Так как C2 может быть также и нулем, то фактически имеем три семейства фазовых траекторий:
У2 __ ,
C2 (kC)2 ~ ’
у = ± kx.
Первое уравнение определяет континуум подобных гипербол с действительной осью х; второе—континуум гипербол с действительной осью у, наконец, третье уравнение
определяет общие асимптоты указанных гипербол. Полученная особая точка называется седлом. Эта точка неустойчива. Таким образом,' каждая асимптота состоит из трех фазовых траекторий: двух полупрямых и самой особой точки. Эти полупрямые называются усами седла. Как видно из фазовой диаграммы, два уса устойчивы (// и IV) и два неустойчивы (I и III). Все прочие фазовые траектории — убегающие: они минуют особую точку, проходя лишь более или менее близко от нее. Рассмотренный нами исключительный случай, когда система асимптотически приближается к положению равно-
ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ
47
весия, соответствует помещению изображающей точки на усы
II или Ilr-, изображающая точка тогда асимптотически приближается к началу координат.
Пример 1. Виброграф Гейгера (рис. 17).
Маятник на спиральной пружине, который может совершать колебания в вертикальной плоскости, соединен с регистрирующим устройством. Полупрямые, выходящие из центра вращения обозначают соответственно: I — вертикаль, II — положение оси маятника при ненапряженной пружине, III— положение статического равновесия,
IV — произвольное положение. Угол а есть так называемый установочный угол прибора, который можно изменять регулировкой пружины; P — угол закручивания пружины при статическом равновесии; <р — малый угол отклонения, принимаемый за обобщенную координату, S — центр тяжести маятника.
Если пренебречь массой пружины, то кинетическая энергия прибора равна кинетической энергии маятника:
где J—его момент инерции. Потенциальная энергия слагается из потенциальной энергии веса и потенциальной энергии упругости:
П — Пвес ПуПр.
Обозначаем расстояние OS через h, жесткость пружины через с0, причем
EI Co— L >
где E — модуль упругости, L — длина пружины, I — момент инерции
ее сечения относительно оси наименьшей жесткости. Тогда имеем
о
П
упр
Co (Р + Ф) ^ = СоРф+Со-§-
Ф
Далее, ограничиваясь при разложении тригонометрических функций малыми второго порядка, находим потенциальную энергию веса:
Пвес = Ph [cos а — cos (а — <р)] =
48 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ II
В положении равновесия сумма моментов силы веса и сил упругости равна нулю; т. е.
C0P — Ph sin а = О,
вследствие чего имеем:
I !EI
Тогда период равен
т = 2л
V
-(- Ph cos aj <р2.
JL
EI -(- PhL cos а
Наиболее распространенными случаями являются такие, когда угол а равен нулю или п/2; первый из них соответствует установке для регистрации горизонтальных, второй — вертикальных колебаний. Тогда
1ГОр
= 2п|/.
JL
EI+ PhL
1вер '
¦ 2я
JL
EI
Приведенный коэффициент жесткости EI L
с = ¦
¦ Ph cos a
может сделаться отрицательным при определенных параметрах прибора, когда а станет тупым углом, в частности a = я. В этом случае
прибор теряет устойчивость, если EI/L < Ph, что физически характеризуется слишком мягкой пружиной.
