Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Обморшев А.Н. -> "Введение в теорию колебаний " -> 14

Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.

Обморшев А.Н. Введение в теорию колебаний — Москва, 2000. — 278 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriukolebaniy2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 72 >> Следующая


ХЬ2 = — п±к, (2.55)

где

и = У п2 — k2. (2.56)

*) Такое определение принято в настоящее время. Прежде в качестве Л брали величину в два раза меньшую, рассматривая отношения амплитуд в двух последовательных размахах в разные стороны.
ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ

53

Тогда решение (2.40) можно написать в таком виде

q = e-nt(A ch %t+ В sh %t) (2.57)

или, если ввести обозначения (2.36):

q — ae-nt sh(x/-J-|3). (2.58)

Движение, выражаемое уравнением (2.57) или (2.58), не является колебательным; это есть движение апериодическое и притом затухающее. В самом деле, уравнение (2.57) может быть записано так:

q — Ае(~ п+х)(-J- Ве_(л+Х' *,

откуда видно, что при неограниченном возрастании времени t обобщенная координата q стремится к нулю, так как к < п

из (2.56); т. е. имеем так называемое асимптотическое движение. На рис. 20 представлены графики возможных случаев рассматриваемого движения при q0 > 0. Здесь кривая / соответствует «толчку вперед» (q0 > 0), кривая II—-«слабому толчку назад» (q0^ 0), кривая III — «сильному толчку назад» (<7о < °)-

в) Критическое сопротивление: n — k. Так как корни характеристического уравнения являются кратными (^1 = ^2-= п = k), то решение принимает вид

q = e~nt (A -J- Bt). (2.59)

Этот граничный случай можно рассматривать, как предел случая а), когда п стремится к k, период т обращается в оо и таким образом, полволны синусоиды, уменьшенной множителем e~nt, принимают бесконечную длину. При дальнейшем увеличении п приходим к случаю б), где уже о
54

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. II

бесконечно большом периоде не приходится говорить. Из сказанного следует, что введенный ранее безразмерный коэффициент затухания ? (2.49) представляет собой отношение данного коэффициента затухания к его критическому значению. Очевидно, что последний случай трудно осуществим, так как практически всегда, хотя бы с ничтожной разницей, либо n<k, либо ге> k.

Обратимся к фазовому представлению движения. Вводя фазовые координаты

х = д, у — д

и приведя уравнение (2.39) к системе двух уравнений первого порядка

~ = — 2 пу — k2x,

dx

~dt ~ У’

(2.60)

легко получим дифференциальное уравнение фазовых траекторий:

I = (2.61)

где знак коэффициента п может быть любым. Здесь возможно как соотношение |»|<?, так и ]п | > &.

Уравнение (2.61) есть однородное, а поэтому для его

интегрирования полагаем

у = ZX.

Подставляя это значение в уравнение (2.61) и разделяя переменные, получаем

dx____ z dz

х Zi -f- 2nz -f- кг

Введем новую переменную и, так что

Z = U — п

или

Тегда интеграция дает:

Г и du Г du
ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ

55

Рассматриваем два случая, когда п < k и когда ге > к

I) п < k. По формуле (2.42)

к2 — п2 = V2.

Тогда

In д: = — Y In (и2 -)- V2) -)- arctg In С, (2.63)

откуда, потенцируя и возвращаясь к прежним переменным, получаем

In у+ItX

у24- 2пху 4- к2 X2 = Cev arC g vx . (2.64)

Для того чтобы лучше представить себе характер кривой, выраженной этим трансцендентным уравнением, совершим линейное преобразование координат, положив

l = vx, т] = у 4- пх. (2.65)

Такое преобразование можно интерпретировать двояко: как «пассивное» или как «активное». Первое из них есть так называемое аффинное преобразование плоскости, связанное с изменением масштабов по осям и поворотом осей с нарушением их ортогональности. Второе — называется точечным преобразованием, когда формулами преобразования устанавливается взаимно однозначное соответствие между двумя плоскостями, определяемыми координатными системами ху и |т], которые предполагаем ортогональными; путем этих преобразований каждая точка первой плоскости переводится в точку второй. Мы будем иметь в виду именно последнее «активное» преобразование. Заметим, что вследствие линейности преобразования в обоих случаях прямая переходит в прямую, точки пересечения кривых соответствуют друг другу и каждая замкнутая фигура преобразуется в замкнутую же, т. е. топологическая структура фазовой плоскости не изменяется. Выражая теперь из уравнений (2.65) х и у через I и т), подставляем эти значения в уравнения (2.60), которое разрешаем относительно производных. Получим

= — "П — v|, % = щ-п1. (2.66)

Тогда дифференциальное уравнение фазовых траекторий принимает вид

= (2.67)

d\ п\ — vr] ' '
56

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. II

Из сравнения уравнений (2.61) и (2.67) видно, что в последнем случае правые части имеют более общий вид, чем

и оправдывается введение общих обозначений правых частей через P и Q (2.7) (см. стр. 36). Однородное уравнение (2.67) можно интегрировать непосредственно, но мы для удобства первоначально перейдем к полярным координатам, положив ! = pcosfr, т) — psinfr. (2.68)

Опуская выкладки, вместо уравнения (2.67) имеем

I dp п

р dQ V ’

откуда интегрированием находим уравнение семейства фазовых траекторий

— о

р = Cev . (2.69)

Учитывая формулы преобразования (2.65) и (2.68), а также обозначения (2.42), сейчас же устанавливаем тождественность уравнений (2.64) и (2.69), если только в первом из них вместо С написать С2. Ho уравнение (2.69) определяет собой семейство логарифмических спиралей в
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 72 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed