Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
ХЬ2 = — п±к, (2.55)
где
и = У п2 — k2. (2.56)
*) Такое определение принято в настоящее время. Прежде в качестве Л брали величину в два раза меньшую, рассматривая отношения амплитуд в двух последовательных размахах в разные стороны.
ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
53
Тогда решение (2.40) можно написать в таком виде
q = e-nt(A ch %t+ В sh %t) (2.57)
или, если ввести обозначения (2.36):
q — ae-nt sh(x/-J-|3). (2.58)
Движение, выражаемое уравнением (2.57) или (2.58), не является колебательным; это есть движение апериодическое и притом затухающее. В самом деле, уравнение (2.57) может быть записано так:
q — Ае(~ п+х)(-J- Ве_(л+Х' *,
откуда видно, что при неограниченном возрастании времени t обобщенная координата q стремится к нулю, так как к < п
из (2.56); т. е. имеем так называемое асимптотическое движение. На рис. 20 представлены графики возможных случаев рассматриваемого движения при q0 > 0. Здесь кривая / соответствует «толчку вперед» (q0 > 0), кривая II—-«слабому толчку назад» (q0^ 0), кривая III — «сильному толчку назад» (<7о < °)-
в) Критическое сопротивление: n — k. Так как корни характеристического уравнения являются кратными (^1 = ^2-= п = k), то решение принимает вид
q = e~nt (A -J- Bt). (2.59)
Этот граничный случай можно рассматривать, как предел случая а), когда п стремится к k, период т обращается в оо и таким образом, полволны синусоиды, уменьшенной множителем e~nt, принимают бесконечную длину. При дальнейшем увеличении п приходим к случаю б), где уже о
54
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. II
бесконечно большом периоде не приходится говорить. Из сказанного следует, что введенный ранее безразмерный коэффициент затухания ? (2.49) представляет собой отношение данного коэффициента затухания к его критическому значению. Очевидно, что последний случай трудно осуществим, так как практически всегда, хотя бы с ничтожной разницей, либо n<k, либо ге> k.
Обратимся к фазовому представлению движения. Вводя фазовые координаты
х = д, у — д
и приведя уравнение (2.39) к системе двух уравнений первого порядка
~ = — 2 пу — k2x,
dx
~dt ~ У’
(2.60)
легко получим дифференциальное уравнение фазовых траекторий:
I = (2.61)
где знак коэффициента п может быть любым. Здесь возможно как соотношение |»|<?, так и ]п | > &.
Уравнение (2.61) есть однородное, а поэтому для его
интегрирования полагаем
у = ZX.
Подставляя это значение в уравнение (2.61) и разделяя переменные, получаем
dx____ z dz
х Zi -f- 2nz -f- кг
Введем новую переменную и, так что
Z = U — п
или
Тегда интеграция дает:
Г и du Г du
ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
55
Рассматриваем два случая, когда п < k и когда ге > к
I) п < k. По формуле (2.42)
к2 — п2 = V2.
Тогда
In д: = — Y In (и2 -)- V2) -)- arctg In С, (2.63)
откуда, потенцируя и возвращаясь к прежним переменным, получаем
In у+ItX
у24- 2пху 4- к2 X2 = Cev arC g vx . (2.64)
Для того чтобы лучше представить себе характер кривой, выраженной этим трансцендентным уравнением, совершим линейное преобразование координат, положив
l = vx, т] = у 4- пх. (2.65)
Такое преобразование можно интерпретировать двояко: как «пассивное» или как «активное». Первое из них есть так называемое аффинное преобразование плоскости, связанное с изменением масштабов по осям и поворотом осей с нарушением их ортогональности. Второе — называется точечным преобразованием, когда формулами преобразования устанавливается взаимно однозначное соответствие между двумя плоскостями, определяемыми координатными системами ху и |т], которые предполагаем ортогональными; путем этих преобразований каждая точка первой плоскости переводится в точку второй. Мы будем иметь в виду именно последнее «активное» преобразование. Заметим, что вследствие линейности преобразования в обоих случаях прямая переходит в прямую, точки пересечения кривых соответствуют друг другу и каждая замкнутая фигура преобразуется в замкнутую же, т. е. топологическая структура фазовой плоскости не изменяется. Выражая теперь из уравнений (2.65) х и у через I и т), подставляем эти значения в уравнения (2.60), которое разрешаем относительно производных. Получим
= — "П — v|, % = щ-п1. (2.66)
Тогда дифференциальное уравнение фазовых траекторий принимает вид
= (2.67)
d\ п\ — vr] ' '
56
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. II
Из сравнения уравнений (2.61) и (2.67) видно, что в последнем случае правые части имеют более общий вид, чем
и оправдывается введение общих обозначений правых частей через P и Q (2.7) (см. стр. 36). Однородное уравнение (2.67) можно интегрировать непосредственно, но мы для удобства первоначально перейдем к полярным координатам, положив ! = pcosfr, т) — psinfr. (2.68)
Опуская выкладки, вместо уравнения (2.67) имеем
I dp п
р dQ V ’
откуда интегрированием находим уравнение семейства фазовых траекторий
— о
р = Cev . (2.69)
Учитывая формулы преобразования (2.65) и (2.68), а также обозначения (2.42), сейчас же устанавливаем тождественность уравнений (2.64) и (2.69), если только в первом из них вместо С написать С2. Ho уравнение (2.69) определяет собой семейство логарифмических спиралей в