Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Р(Х"^)==°’1 (2 8)
Q (xs, ys) = 0, J ( '8)
точка (xs, ys) называется особой точкой дифференциального уравнения (2.7). В тех случаях, когда непосредственное построение решения представляет те или иные трудности, исследование поведения интегральных кривых в окрестности особой точки или, как говорят, исследование топологической структуры фазовой диаграммы помогает выяснить характер движения системы. Заметим сейчас же, что особая точка, независимо от того, лежит ли она на какой-нибудь интегральной кривой или является изолированной, представляет собой выродившуюся фазовую траекторию.
§ 3. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ БЕЗ СОПРОТИВЛЕНИЯ
Свободные колебания происходят при отсутствии возмущающей силы Q. Предположим также, что отсутствует и сопротивление (Ь = 0)\ тогда уравнение (2.1) примет вид
aq-\-cq — 0. (2.9)
*) Вообще говоря, следует различать интегральные кривые и фазовые траектории, см. [']. (Прим. ред.)
§ 3] СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ БЕЗ СОПРОТИВЛЕНИЯ
37
Введя обозначение
k2-.
(2.10)
канонической
получаем уравнение свободных колебаний форме
q-\-k2q = 0, решение которого имеет вид
q = A cos kt-\-Bsin&^,
или
q = a sin (ktр), где А, В, а, р — постоянные интеграции, причем Л = a sinf5, 5 = acosp,
и наоборот
а =УЖ±ВЇ,
P = arctg- -А .
Здесь а—амплитуда колебаний, р — начальная фаза, k — круговая, или циклическая частота, связанная
(2.11)
(2.12)
(2.13)
(2.14)
(2.15)
(2.16)
с периодом т и частотой N (числом колебаний в единицу времени) формулами:
т = -^- (2.17)
и
k 1
N =
2л
(2.18)
Периодом колебаний т назван наименьший промежуток времени, по истечении которого движение воспроизводится (рис. 11). Если в формуле (2.18) к выражено в сек~х, то N выражается в герцах.
38
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. U
Формулам (2.17) и (2.18) можно придать очень удобный вид для определения частоты вертикальных колебаний упруго подвешенного тела (например, на невесомой пружине, рис. 7, или балке). В этом случае
P P
а = т. = —, с —-у,
где т—масса тела, P—его вес, /—статическое смещение, g — ускорение свободного падения. Имея в виду формулу (2.10), приведем формулы (2.17) и (2.18) к следующему виду:
:2л|/^, (2.19)
Sr/У • (2-20)
Ы-2п
Принимая за единицу длины сантиметр и полагая приближенно 100л2 — g, вместо последнего выражения получим ^ колеб_ _ _5__ ^ (2_2
сек У / CM
или
N колеб _ 300 ^ 22^
MtlH Vf CM
Эта формула иногда называется формулой Гейгера.
Обратимся теперь к представлению движения на фазовой плоскости, причем сделаем это, не пользуясь готовым решением (2.12) или (2.13). С помощью обозначений (2.3) приводим уравнение (2.11) к двум уравнениям:
ІУ__Ь2 х i^_v dt~ R х’ dt —у'
откуда
±У- = —Ь?-
dx у
Интегрируя, находим
где C2 — положительная произвольная постоянная. Представляя это уравнение в виде
X2 , У2 , ,п Г.Г.Ч
§ 3] СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ БЕЗ СОПРОТИВЛЕНИЯ
39
Рис. 12.
видим, что фазовые траектории образуют непрерывную последовательность или континуум концентрических подобных эллипсов (рис. 12). Начало координат представляет собой изолированную особую точку, называемую центром. Это есть положение устойчивого равновесия, причем устойчивость здесь обыкновенная. В самом деле, если мы выберем малый эллипс, полностью входящий в є-область, то изображающая точка, будучи помещена на этот эллипс или на какой-либо меньший из того же семейства, никогда не выйдет из е-об-ласти, но зато никогда и не попадет в центр.
Вопрос о том, какой эллипс из этого семейства соответствует данной задаче, зависит от начальных условий, а именно от постоянной С. Поскольку здесь система автономная, другая постоянная входит в качестве слагаемого во время t и не влияет на вид эллипса.
Пример 1. Вертикальные колебания груза на упругом невесомом стержне (рис. 13). Пусть O1 — конец ненапряженного стержня, О — его конец с подвешенным грузом в положении статического равновесия, / — статическое удлинение стержня. Силовая схема эле-ментарна и очевидна из рисунка.
Принимая х за обобщенную координату, имеем
Т=Щ-, п = пвес + пу
где
Пвес P•*»
О
EF
хупр>
п
упр
—J
(и + /) du=z
EF , ,EF Xі = — /*+ —-2-.
/
X
О,
о
Рнс. 13.
Здесь Е — модуль упругости первого рода, P — площадь поперечного сечения стержня, I — его длина в ненапряженном состоянии, Так как
,• Pl
40
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ (ГЛ. Il
ТО
TT 1 Ер 2
2 I *
Подставляя выражения T и П в уравнения (1.23) и учитывая, что в рассматриваемом случае Ф = Q = 0, получим
ахCx = 0,
P EF
: — = т., с = —7~. Находим период по формуле (2.17) или
где а ¦-
(2.19)
=2»/w“2“ /f
Пусть стержень, несущий груз P=IO кГ, стальной E = 2 • IO6 кГ/см2, имеет сечение F=I см2 и длину / = 80 см; в таком случае
10-80
- 4,15 4 см,
2- IO6-I
следовательно, N =
4-Ю
г| =¦ 250 колеб/сек, т = 0,004 сек.
Пример 2. Определить частоту колебаний груза, если стержень в предыдущем примере заменен цилиндрической винтовой пружиной круглого сечения (рис. 7). Из курса сопротивления материалов [35] известно, что в этом случае удлинение пружины равно
