Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Обморшев А.Н. -> "Введение в теорию колебаний " -> 8

Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.

Обморшев А.Н. Введение в теорию колебаний — Москва, 2000. — 278 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriukolebaniy2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 72 >> Следующая


В заключение этой главы остановимся на вопросе о размерности величин. В уравнениях (1.37) все члены должны иметь размерность обобщенной силы. Допустим, как это наиболее часто принимается, что за единицу длины взят сантиметр [см], за единицу силы — килограмм [кГ], за единицу времени — секунда [сек]. Тогда коэффициент инерции имеет размерность обобщенной силы, деленной на обобщенное ускорение, коэффициент сопротивления —обобщенной силы, деленной на обобщенную координату. Обобщенными координатами

*) Имеются в виду лишь коэффициенты ири i=j, так как отрицательность коэффициентов с и b с различными индексами еще ничего не говорит о нарушении устойчивости, иначе говоря, о нарушении знакоопределенности квадратичных форм П или Ф.

П

2 ftі (р) Я) = Qi • /=і

(1.40)

(1.41)
зо

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

[ГЛ. I

может быть либо длина, либо угол, обобщенной силой — сила или момент. Эти величины соответствуют друг другу, если они имеют один и тот же номер; тогда сейчас же можно указать размерности а, Ь, с. Например,

qt см, Qt кГ, аи кГсек^/см, Ьа кГсек/см, са кГ/см, q} рад, Qj кГсм, ajj кГсмсек2, bjj кГсмсек, Cjj кГсм.

Если подстрочные индексы У CL1J, btj, Сц различны (ІфЗ), то получаются другие варианты для единиц, измеряющих эти коэффициенты, которые, однако, очень легко находятся на основании только что сказанного, именно на основании принципа однородности всех членов уравнений, описывающих физические процессы.
ГЛАВА II

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

-////////////////ZA

§ 1. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ, СВЯЗАННЫЕ

С ПОСТРОЕНИЕМ СХЕМЫ

Вопрос о числе степеней свободы системы решается не только в зависимости от структуры самой системы, но и от желаемой степени точности.

Предположим, что мы имеем небольшой груз, подвешенный к пружине (рис. 7). Даже если допустить, что боковое раскачивание груза исключено, мы имеем случай, не столь элементарный, как он часто трактуется. Обычно предполагают, что, во-первых, пружина невесома и, во-вторых, она не закручивается вокруг своей оси, не говоря уже о том, что деформацией груза пренебрегают. В результате получают хорошо известное из механики обыкновенное дифференциальное у равнение

тх-\- сх — О,

где х — смещение груза, т — его масса, с — коэффициент жесткости пружины. Это уравне- Рис. 7. ние определяет вертикальные колебания абсолютно жесткого груза на абсолютно невесомой пружине, имеющей к тому же линейную упругую характеристику, т. е. остающейся в пределах закона пропорциональности.

Итак, мы имеем систему с сосредоточенными параметрами — массой груза, принимаемой за точечную, и упругостью пружины, эффект которой сводится к упругой реакции в точечном грузе. Однако опыт (а также и расчет) показывает, что если грузик оттянуть вниз и затем отпустить, то вскоре, кроме основных колебаний, возникают также крутильные колебания, которые могут быть, правда, очень небольшими. Таким образом, система имеет две степени свободы, причем колебания обоих типов связаны между собой. Лишь пренебрежение (часто достаточно обоснованное) вторым движением,
32 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. И

являющимся как бы побочным, приводит нас к системе с одной степенью свободы.

Мы пренебрегли также деформируемостью груза (на что имеем полное право), а также массой пружины. Последнее допущение весьма условно. В действительности мы имеем непрерывную последовательность элементов пружины, обладающих как упругостью, так и массой. Иначе говоря, при точном исследовании мы должны считать, что имеем систему с распределенными параметрами, чему соответствует беско-нечное число степеней свободы. В этом случае движение описывается посредством уравнений в частных произ-C О водных.

Аналогично дело обстоит в электрическом колебательном контуре рис 8 (рис. 8) с сосредоточенными емко-

стью С и индуктивностью L. Для заряда q конденсатора имеем известное из физики обыкновенное дифференциальное уравнение

^ + у? = 0-

Если мы считали бы по крайней мере индуктивность распределенной, что ближе к истине, то и здесь получили бы уравнения в частных производных.

Итак, обращаясь к малым или линейным колебаниям системы с одной степенью свободы, следует написать только одно уравнение движения (1.37), а именно:

aq-\- bq-\- cq Q, (2.1)

причем по формулам (1.30), (1.32) и (1.34) для кинетической энергии, функции рассеяния и потенциальной энергии в этом случае имеем выражения:

T = ф = \ьф, П =4 С?2- (2.2)

Следует также отметить, что если правая часть уравнения (2.1) не зависит явно от времени t, то система называется автономной.

Сделаем еще одно предварительное замечание относительно коэффициентов уравнения (2.1). Коэффициент а по смыслу
§ 2] ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ДВИЖЕНИЯ НА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ 33

всегда положителен: в простейших и наиболее распространенных случаях он пргдставляет собой массу тела или его момент инерции (а в электрических системах—индуктивность). Во всяком случае, какую бы комбинацию физических параметров этот коэффициент ни представлял, его положительность следует из существенной положительности кинетической энергии. Коэффициент с может быть также отрицательным. Это может иметь место в том случае, если рассматривать поведение системы в окрестности положения неустойчивого равновесия. Что касается коэффициента Ъ, то если предполагать, что существует только сопротивление, то Ь не может быть отрицательно. Однако в некоторых задачах приходится учитывать поступление энергии в систему извне, причем это поступление может определяться силой, пропорциональной скорости, т. е. формально мы имеем случай так называемого «отрицательного сопротивления». Тогда мы получим силу, выраженную так же, как линейное сопротивление, но с отрицательным Ъ. Такие случаи будут рассмотрены в дальнейшем.
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 72 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed