Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
(ій='»--
— коэффициент жесткости, или квазиупругий коэффициент, находим
П П
п== (1-34)
i=i j=і
Если положение равновесия устойчиво, то IT, равно как T и Ф, — определенная положительная квадратичная форма, т. е. положительная величина, обращающаяся в нуль только при нулевых значениях всех переменных *).
Вообще какая-либо функция, сохраняющая знак при любых значениях переменных и обращающаяся в нуль тогда и только
*) Эти понятия необходимы, в частности, при изучении второй методы Ляпунова и функций Ляпунова [12].
26
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. I
тогда, когда все переменные равны нулю, называется знакоопределенной. Если же некоторая функция, не изменяющая своего знака, обращаясь в нуль при нулевом значении переменных, может быть равна нулю и при каких-либо иных их значениях, то она называется знакопостоянной. Такова, например, функция
/(X1, х2) = Л (X1 — X2)2,
где А — произвольное число. В самом деле, эта функция при X1=^=X2 имеет всегда знак, совпадающий со знаком А, и обращается в нуль не только при X1 = X2 = O, но и вообще при X1 = х2.
На основании сказанного, функции T и Ф, а при устойчивости равновесия также и П, являются функциями знакоопределенными, и притом положительными.
Приведем без доказательства признак или критерий знакоопределенности квадратичной формы, например П. Для этого образуем определитель, называемый дискриминантом квадратичной формы
S =
... с
In
С21
С31
сп\
''32
ьп2
'2л
^33
... С
Zn
(1.35)
Далее, по теореме Сильвестра, для определенной положительности квадратичной формы П (1.34) необходимо и достаточно, чтобы были положительны определитель 5 (1.35) и все его главные диагональные миноры, т. е. чтобы выполнялись следующие условия:
Cu > 0,
С21
^22
>0,
Случай одной координаты, при П =
виальным. Убедимся в справедливости случая двух координат, когда
1
5 > 0.
1 2
T с?2’ этого
(1.36)
является три-критерия для
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Г, Ф, ІЇ
27
Так как можно положить поочередно qx = О или q2 = 0, то требование положительности C22 и с„ очевидно. Представим П так:
П=т [Cn (Ir) +2ci2-^+J-
Здесь квадратный трехчлен не должен иметь вещественных корней, так как в противном случае он, переходя через нуль, мог бы менять знак.
Поэтому
С12—СПС22<°-Итак, получаем Cu > О, C11C22 с\2 > О,
C22 > 0. (а)
Легко видеть, что последнее условие вытекает из первых двух.
Пример. Равновесие двух сочлененных вертикальных стержней длины I1 и I2 с точечными грузами (массы которых тх и т2), прикрепленными пружинами жесткости C1 и C2 к вертикальной стенке (рис. 6, а).
Принимая за обобщенные координаты углы <р и -ф и считая отклонения стержней от вертикали малыми (рис. 6, б), составим выражение потенциальной энергии П, состоящей из потенциальной энергии сил веса и потенциальной энергии сил упругости. Имеем
П == — Triigll (I — cos ф) — m2g [I1 (I — cos ф) —12 (I — cos г|;)] -f-+ -rf- (Лф)2 + -J- (^іФ + ^f)2 ~
~ \ ([(cI + са) tI — (mi + т2) ^i] Ф2 + Зсо^аФФ +
“Ь (с2^2 ”Ь Щё^ f2} •
m2 ф2
где положено cos ф w I-----, cos лр яа I----. Здесь
Cu = [(«і + Cs) h — («і + т2) ?] 11.
Cl 2 = C2Iil2*
C22 = (C2I2 -j- m2g) I2-
Рис. 6.
28
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. I
Полученные выше условия устойчивости (а), после подстановки выражений C11, C12i С22 и некоторых упрощений, принимают вид
(Cl + C2) h > (TtixArm2) g,
C2I2 -j- m2g > О,
[(Cl + C2) 1I — ('71I + т2) g] (С212 + П2ё) > t\hlV
Очевидно, что второе из этих условий удовлетворяется тождественно.
He следует думать, что последнее условие вытекает из первого. В самом деле, если левая часть первого неравенства лишь очень мало превосходит правую, то при выполнении первых двух неравенств третье может и не выполняться.
§ 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ ОКОЛО ПОЛОЖЕНИЯ УСТОЙЧИВОГО РАВНОВЕСИЯ
Для вывода уравнений малых колебаний подставим все разложения (1.30), (1.32) и (1.34) в дифференциальные уравнения движения (1.23). Заметим, что при этом -щ- = 0, дТ
а —г- имеет вид dqi
¦7^-=fl<I?I + fli2?2+ ••• Л-ЯіпЯп-
dqi
Подобным же образом находим и другие производные. Окончательно уравнения малых колебаний примут вид
П
2 (Uifij-iT ^ijQj-iT Cifij) = Q1, (1.37)
где 1=1, 2.......п. Вводя символический полином
/tj(P) = UijP2-^bljP+ Clj, (1.38)
где р есть дифференциальный оператор
P = Ti- (1-39)
§ 7] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАЛЫХ КОЛЕБАНИИ 29
мы можем переписать уравнения (1.37) в таком виде:
Система уравнений (1.37) или (1.40) представляет собой систему совокупности линейных дифференциальных уравнений второго порядка; таким образом, порядок системы
равен 2п. Полное решение системы дает нам все qx.......qn,
выраженные в зависимости от времени і и 2л постоянных интеграции, определяемых по начальным условиям:
т. е. по начальным координатам и скоростям.
По поводу уравнений (1.37) или (1.40) следует заметить, что, как будет видно из дальнейшего, они могут определять собой не только колебательные, но и апериодические движения, что хорошо известно из курса теоретической механики. Больше того, уравнения (1.37) или (1.40) сохраняют свою силу также и для неустойчивых систем, когда некоторые коэффициенты Cij или btj отрицательны *), лишь бы задача ограничивалась рассмотрением малых отклонений, в пределах которых допустимо пользоваться уравнениями первого приближения. Однако эти уравнения уже не могут дать полной картины движения, для получения которой приходится обращаться к нелинейным уравнениям.
