Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
2) р < 0, q < 0; поверхность — эллиптический параболоид,
обращенный выпуклостью вверх. II0 = Птах; на основании второй теоремы Ляпунова равновесие неустойчиво.
3) р > 0, q < 0 (или наоборот); поверхность — гиперболический
параболоид (седлообразная поверхность). II0 не есть ни минимум, ни максимум, что обнаруживается по членам второго порядка.
На основании первой теоремы Ляпунова равновесие неустойчиво.
Примечание. Упоминавшееся выше безразличное равновесие (рис. 3, в) не подходит ни к одному из определений приведенных теорем. С точки зрения общей теории мы имеем в данном случае неустойчивость, так как сколь угодно малые начальные скорости могут увести точку далеко от начального положения.
§ 3. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ
Положим, что движение материальной системы описывается уравнениями Лагранжа [п]:
где / = 1, 2, ..., п. Положим, далее, что при некоторой совокупности начальных условий
Будем называть движение, определяемое этими уравнениями, основным или невозмущенным движением. При всякой иной совокупности начальных условий конечные уравнения (1.7) будут, очевидно, уже иные, и движение, определяемое ими, называется возмущенным по отношению к основному.
Невозмущенное движение по Ляпунову называется устойчивым относительно некоторой совокупности величин, которыми обычно бывают координаты q, и скорости qt, если
2 А. Н. Обморщев
(1.6)
18
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. I
для каждых сколь угодно малых положительных и е2 можно указать такие S1 и б2, что при
|Д?°|<61: I Aq0i I < S2
в последующем движении для любого t, сколь велико бы t ни было, будут выполняться неравенства
1д?/1<е1> 1д^1<е2.
где А Ці и т. д. обозначают разности соответствующих величин в основном и возмущенном движениях, называемые их вариациями.
Можно сказать проще: невозмущенное движение устойчиво, если возмущенное остается сколь угодно близким к нему.
Проблема устойчивости движения играет большую роль в современной технике. Так, говорят об устойчивости движения железнодорожного поезда, артиллерийского снаряда, быстроходной турбины и т. п.
Рассмотренное в § 2 определение устойчивости равновесия является частным случаем приведенного определения устойчивости движения, когда невозмущенное состояние есть состояние покоя.
§ 4. КЛАССИФИКАЦИЯ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА КОЛЕБАТЕЛЬНУЮ СИСТЕМУ
Для составления дифференциальных уравнений колебаний механической системы прежде всего необходимо расшифровать все члены в уравнениях движения (1.6). Допустим, что система содержит N материальных точек с координатами
X1, ^1, Z1....XN, yN, ZN,
которые, благодаря наложенным голономным стационарным удерживающим связям, могут быть выражены в виде однозначных функций от обобщенных координат:
Xi = Xiiq1, q2......qn),
У і = У і ІЯі> Яі......Чп)’
= zI ІЯі- Яг......Яп)-
(1.8)
КЛАССИФИКАЦИЯ СИЛ
19
Отсюда находим проекции скоростей точек:
Следовательно, кинетическая энергия системы
7 = II-T-W+у? + *?) (1.10)
/=1
после подстановки выражений (1.9) представится в виде однородной функции второй степени, т. е. в виде квадратичной формы от обобщенных скоростей:
П П
г ==42 S Ам- <ілі>
i = l J = 1
Здесь коэффициенты AiJ — вообще функции координат:
Aij=Aij{qi, Q2........qn), (1.12)
причем, как известно из курса теоретической механики *),
Aij = Aji. (1.13)
*) В самом деле, например, для двух степеней свободы мы имеем:
T = Y (Al я\ + 2А2 Ч\ ?2+^22?'?' полагая здесь An = Aii и представляя T в виде
T = ~2 [(Ai^i “Ь АпЯг) Qi (-^21^1 -Ь A22q2) ^2], убеждаемся в справедливости сказанного.
20
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. I
Обобщенную силу Qj мы представим для достаточно общего случая состоящей из трех сил:
Qj = QY + Qf + Q). (1.14)
Здесь Qj— так называемая потенциальная сила, играющая обычно роль восстанавливающей силы-.
= С-15)
Далее, Q* есть сила, явно зависящая от времени и называемая возмущающей силой
QTj = QtjV). (1.16)
Для сокращения записи в дальнейшем звездочку будем опускать. Наконец, Q9 есть сила сопротивления, или диссипативная сила.
Принято различать следующие три основных типа сопротивления:
1. Сопротивление сухого, или кулонова, трения, которое принимается в достаточно широких пределах не зависящим от скорости движения *).
2. Сопротивление вязкости, или линейное сопротивление, пропорциональное первой степени скорости.
3. Сопротивление вихревое, или квадратичное, пропорциональное квадрату скорости.
Только второй тип сил приводит к линейным дифференциальным уравнениям (если, конечно", нелинейность не вызвана другими силами); остальные два типа приводят к нелинейным уравнениям и влекут за собой большие трудности исследования. Если не оговорено противное, мы будем иметь в виду линейный случай.
*) Так как в действительности сила сухого трения все же зависит в какой-то мере от скорости и эта зависимость даже может порождать особый вид колебаний — так называемые автоколебания, рассматриваемую в дальнейшем идеализировачную силу сухого трения, не зависящую от скорости, называют силой кулонова трения, поскольку Кулон высказал гипотезу о независимости силы трения от скорости.
