Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
КЛАССИФИКАЦИЯ СИЛ
21
Итак, положим, что каждая точка испытывает силу сопротивления, проекции которой можно представить в следующем виде:
^ix== Y ^ty= у іУ і’ Ftz у iz i'
где yt — коэффициент пропорциональности, по смыслу больший нуля. По обшей формуле для обобщенной силы
<117>
1-Х
находим
N
дЧ) 1 дЧ1
1 = 1 JJ
С другой стороны, из уравнений (1.9) следует, что
dxj__ dxj_ дуі _ dyt dzt _ Ozl
dq} dij, ’ dq} dq} ’ dq} dq} ’ вследствие чего
«ф=-?г(і, ii). (,.,7,)
'Т '"h дЧ, if, I
Если теперь образовать некоторую функцию скоростей
ф=2нН^+у?+*?)- (1Л8)
(=1
то можно увидеть из выражения (1.17а), что
0? = — г?- (1-19)
1 Oqj
Функция Ф называется функцией рассеяния или диссипативной функцией Рэлея. Как видно из сравнения формул (1 10) и (1.18), она имеет такую же структуру, как и кинетическая энергия; следовательно, можно утверждать, что как Г, так и Ф — существенно положительные величины.
По аналогии с (1.11) имеем
П П
фS (1>20)
г = 1 ; = 1
22
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. I
где вообще
3U^V %.........Чп)> (1.21)
причем, как это имело место для коэффициентов AtJ, здесь также
BlJ = Bji. (1.22)
Таким образом, уравнения движения (1.6), учитывая (1.14), (1.15) и (1.19), напишутся в следующем виде:
(ItKdqj) Oqj ^ Oqi Oqj К
где У = 1, 2......п.
§ 5. ОБОБЩЕННОЕ УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
Умножим каждое из уравнений (1.23) на соответствующую обобщенную скорость qj и сложим все уравнения почленно:
Здесь правая часть представляет собой мощность всех возмущающих сил. Далее, поскольку Ф так же, как и T, есть квадратичная форма относительно обобщенных скоростей, то по теореме Эйлера об однородных функциях имеем
2-іг^ = 2Ф.
Потенциальная энергия зависит явно только от координат, поэтому
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Т, Ф. П
23
Наконец, осталось рассмотреть первую сумму левой части уравнения (1.24). Предварительно найдем, что
Здесь при преобразовании первого члена мы опять воспользовались теоремой Эйлера, а при приведении второго члена учлй, что T есть функция как скоростей, так и координат. Окончательно имеем
(Г +П) + 2Ф = W, (1.25)
где
Wr = 2 Qfij (1-26)
J=I
есть мощность всех возмущающих сил.
Мы получили обобщенное уравнение энергии. При отсутствии внешнего возмущения
¦|-(Г + П) = -2Ф. (1.27)
Итак, удвоенная функция рассеяния есть убыль полной энергии в единицу времени.
Наконец, для консервативной системы (Ф = 0) получаем из (1.27) хорошо известное соотношение
7 + 11 = const. (1.28)
§ 6. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Т, Ф, П ДЛЯ ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ СИСТЕМ
На основании изложенного в предыдущих параграфах можно вывести дифференциальные уравнения малых колебаний материальной системы около ее положения равновесия, которое, если не оговорено противное, предполагаем устойчивым.
24
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. I
В действительности только в исключительных случаях поведение системы описывается посредством линейных уравнений. Однако если считать отклонения и скорости малыми, такими, чтобы степенями выше первой и произведениями этих величин можно было пренебречь, то в результате получим линеаризованную систему, описываемую линейными дифференциальными уравнениями, которые по отношению к исходной системе являются уравнениями первого приближения. Закономерность такой операции часто очевидна, но иногда она может быть окончательно разрешена лишь после анализа решения упрощенной системы. Бывает и так, что линеаризация приводит к принципиально иному решению. К этому вопросу мы еще возвратимся в главе о нелинейных колебаниях, а сейчас будем считать линеаризацию допустимой. Предварительно обратимся к составлению выражений для Т, Ф и П при этом допущении.
Если мы хотим в уравнениях (1.23) оставить члены не выше первого порядка малости в только что указанном смысле, то в выражениях для Г, Ф и П необходимо удержать члены до второго порядка включительно. Обращаясь
к кинетической энергии T (1.11), разложим на основании формулы (1.12) коэффициенты AiJ в ряд по степеням q:
aH = (Ац) о + S (~дї?)0 4 k+ • • ¦ • k = i
где индексом 0 отмечены соответствующие величины при
^1 = 0, <72 = 0.....qn = 0. Так как в выражении (1.11)
должны остаться члены второго порядка, то в написанном разложении удерживаем справа только первый член, который обозначим
(Ац)о=аи = ал- (1-29)
Эта величина называется коэффициентом инерции. Окончательно имеем:
П П
T = aIjQib- (1-30)
i=i j=i
Поступая таким же образом с выражением для Ф, на
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Т, Ф, П
25
основании (1.20) и (1.21) находим
= (1.31)
k=i
где (Bij)0 = Ь[] — bjt — коэффициент сопротивления. Тогда
П П
ф=тЕЕм^- (1-32>
і= іj=i
Наконец, переходим к потенциальной энергии П, для которой имеем
П = (П)0 + 2 ("L)o qk+1 2 і] (?? Wj+
k = I / = I 7 = 1
«а+-
I = I ; = 1 J = I
Как было указано выше, (П)0 и все члены первой суммы
равны нулю (см. стр. 13); тройную сумму и члены высших
порядков мы отбрасываем. Тогда, вводя обозначение
