Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Обморшев А.Н. -> "Введение в теорию колебаний " -> 9

Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.

Обморшев А.Н. Введение в теорию колебаний — Москва, 2000. — 278 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriukolebaniy2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 72 >> Следующая


§ 2. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ДВИЖЕНИЯ НА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ

Совокупность переменных величин, полностью характеризующих во всякий момент времени состояние некоторой физической системы, называется фазой системы. При определении состояния механической системы принято называть фазой совокупность всех ее обобщенных координат и обобщенных скоростей, т. е. совокупность величин

Я\> <72’ ¦ ¦ ¦• Яп< Я\< 92’ • • •• Яп-

Эти величины (а иногда их функции), число которых, как легко видеть, равно удвоенному числу степеней свободы, называются фазовыми координатами системы. Иногда некоторые из этих величин практически не играют никакой роли при исследовании движения системы. Например, угол поворота полностью уравновешенного ротора не является существенным, тогда как соответствующая угловая скорость имеет большое значение. С другой стороны, в некоторых случаях приходится принимать во внимание и ускорения, как, например, при исследовании регулирования скорости двигателя центробежным регулятором ABC (рис. 9),

З А. Н. Обморшев
34

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. Il

когда состояние, или фаза системы характеризуется положением муфты С, ее скоростью и ускорением. В соответствии с этим изменяется и число фазовых координат. В электрических и электромеханических системах в качестве электрических координат по Максвеллу принимаются количества электричества, а в качестве соответствующих скоростей—контурные токи.

Особенно удобным с точки зрения наглядности является случай одной степени свободы, когда фазовых координат

две. Тогда их можно построить на плоскости в обычных

прямоугольных координатах (рис. 10), положив

X = q, y = q. (2.3)

Точка М, определяемая этими координатами, называется изображающей точкой. При движении системы точка M движется в плоскости Оху, называемой фазовой плоскостью, описывая некоторую кривую — фазовую траекторию. Совокупность фазовых траекторий, построенных для различных начальных условий, называется фазовой диаграммой системы. Так как в верхней полуплоскости у>0

d.X

и поэтому согласно (2.3) >0, то в верхней полупло-

скости изображающая точка движется вправо (в сторону увеличения х), а в нижней—влево, пересекая ось абсцисс (у=0) под прямым углом (в точках пересечения х принимает экстремальные значения). Фазовые траектории автономных систем не пересекаются, так как для таких систем за одну произвольную постоянную интеграции может быть принято начальное значение времени t, а это, в случае воз-
§ 2] ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ДВИЖЕНИЯ НА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ 35

можности пересечения, привело бы к неопределенности движения при определенных начальных условиях. Если же

система не является автономной, то такие пересечения возможны. Иначе говоря, фазовая диаграмма в этом случае приобретает своеобразную подвижность.

В вырожденном случае, когда имеется только одна фазовая координата (например, в случае упомянутого уравнове-

шенного ротора), вместо фазовой плоскости мы имеем фазовую прямую. При необходимости учета третьей координаты, например ускорения (как в центробежном регуляторе), получаем трехмерное фазовое пространство и т. д. В дальнейшем таких случаев мы касаться не будем.

Скорость точки M называется фазовой скоростью, она равна:

V=Vq2-Jrq2. (2.4)

Фазовую скорость нельзя смешивать с обобщенной ско-

ростью q\ как видно из формулы (2.4), в выражение фазовой скорости входит также ускорение q.

Найдем уравнения фазовых траекторий в общем виде. Допустим, что система автономна (именно для таких систем удобно пользоваться фазовыми диаграммами). Тогда, независимо от того, линейна она или нет, ее уравнение движения может быть записано так:

q = q>(q, q). (2.5)

Используя обозначения (2.3), мы можем одно уравнение второго порядка (2.5) заменить двумя уравнениями первого порядка:

dy ,^dx

-5Г = Ф(*. ^ -аГ = У'

или, в более общем случае:

P (х, у), = <?(*• У)- (2-6)

Здесь Р(х, у), Q(x, у) — вообще некоторые ограниченные функции от х, у, предполагаемые обычно аналитическими, т. е. разложимыми в степенные ряды в окрестности любой точки в некоторой области значений х, у, причем этой областью, в частности, может быть вся плоскость. Если речь

3*
36

линейные системы с одной СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. II

идет о механической системе, то в качестве координаты у обычно принимается обобщенная скорость q, иногда обобщенный импульс aq, а иногда некоторая комбинация q и q (в практических случаях линейная). Аналогично обстоит дело и в системах не механических. Этим оправдывается общая форма уравнений (2.6).

Деля почленно уравнения (2.6), находим

dy _ Q(x, у) 9 _

dx ~~ P (х, у) • у

Интегральная кривая этого дифференциального уравнения, очевидно, определяет собой фазовую траекторию (одну или несколько). Поэтому уравнение (2.7) мы можем назвать дифференциальным уравнением фазовых траекторий *).

В любой точке (х0, у0) фазовой плоскости уравнение (2.7) дает угловой коэффициент касательной к фазовой траектории, если только PnQ одновременно не обращаются в нуль. В последнем случае, т. е. когда
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 72 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed