Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Для консервативной системы, т. е. для системы в потенциальном силовом поле, обобщенная сила равна
—f" <1Л>
где
П = П(91, q2......qn) (1.2)
есть потенциальная энергия системы. Так как в положении равновесия все обобщенные силы равны нулю, то согласно равенству (1.1) имеем
ап
14
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. I
при /= 1, 2, п. Следовательно, в этом положении потенциальная энергия, как говорят, принимает стационарное значение, которое, в частности, может быть экстремальным, т. е. иметь максимум или минимум. Допустим, что в положении равновесия П минимальна. Докажем, что в этом случае равновесие устойчиво. На основании закона сохранения энергии имеем:
где T0 и T — кинетическая энергия системы в начальный и в любой последующий момент времени соответственно; а П0 — начальное значение потенциальной энергии системы. Отсюда, поскольку всегда T > 0, находим
Условимся отсчитывать потенциальную энергию от положения равновесия, в котором П = 0. Тогда, по условию минимума П, в окрестности этого положения всегда П > 0. Дадим первой координате наибольшее по абсолютной величине возможное значение є:
а остальные координаты будем изменять всевозможным образом в пределах ± є и наблюдать за величиной П. Пусть наименьшее значение П при таких изменениях оказалось равным A1. Поступая таким же образом с координатой q2 и предоставляя остальным (включая и q{) изменяться в пределах ± є, отметим также и в этом случае наименьшее значение П, равное некоторому A2, и т. д. Получив ряд положительных чисел
возьмем наименьшее из них, которое обозначим через А*. Итак, А* есть значение потенциальной энергии, когда по крайней мере одна координата достигла границы своего возможного изменения є.
Если начальные значения q° лежат в пределах ± S1, то, очевидно
T —|— П .— Tо—j- По = const,
(1.4)
П < Tg-j- П0.
(1.5)
^2* * * * * ^ л*
Допустим, что
П0 — А* — а,
устойчивость равновесия
15
Г~~-
где а — некоторая малая положительная величина. Поскольку T0 является положительной функцией скоростей <ft, достаточно указать такой верхний предел для начальных скоростей
К|<62’
чтобы было
T0 < а.
Подставляя в неравенство (1.5) вместо П0 и T0 соответственно А* — а и а, мы это неравенство только усилим. Итак, имеем
П < А*.
Следовательно, ни одна из координат не достигает своего предельного значения, т. е. равновесие устойчиво, что и требовалось доказать.
Необходимого признака устойчивости не существует. Однако иногда можно заранее утверждать, что система неустойчива. Это можно сделать в случаях, предусмотренных теорема- ^_j ^ // ми Ляпунова, доказательство которых не эле- I /у
ментарно. I /Ч
Теорема 1. Равновесие неустойчиво, \/ \
если потенциальная энергия не есть минимум и отсутствие минимума определяется уже по членам второго порядка в разложении потенциальной энергии.
Теорема 2. Равновесие неустойчиво, если потенциальная энергия есть максимум, определяемый членами наинизшего порядка в разложении потенциальной энергии в степенной ряд.
Пример 1. Исследование устойчивости равновесия маятника (рис. 4). Примем за обобщенную координату угол ф отклонения маятника от вертикали. Пусть вес маятника будет Р, расстояние центра тяжести от точки подвеса О составляет I. Потенциальная энергия равна
Обобщенная сила
П = Pl (I — cos ф).
Q =
дП_
dq
¦ Pl Sin ф.
16
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. I
Отсюда два положения равновесия
Ф? = 0, q>2 = я.
Исследуем П на экстремум: <?2П
дф2
= + Pl COS ф,
<?2п\
<?Ф2 J2
= — Р1.
Итак, в первом случае П = ПШ[П и по теореме Лагранжа — Дирихле равновесие устойчивое. Во втором случае П = Пшах; чтобы здесь применить теоремы Ляпунова, положим ф = я — ^ и разложим П по степеням i|j:
¦ф2 . т|з4
n=P/(l + cos ^ = PlVl
2-4
Следовательно, имеем неустойчивое равновесие.
Пример 2. Равновесие тяжелой точки на гладкой поверхности. Очевидно, что равновесие возможно лишь в той точке поверхности, через которую можно провести к этой поверхности горизонтальную касательную плоскость. Примем эту плоскость за плоскость Oxy и направим ось z вертикально вверх (рис. 5). Тогда потенциальная энергия тяжелой точки может быть представлена в виде
П = nigz.
Рис. 5.
Уравнение поверхности * = /(*. У)
в окрестности начала координат можно аппроксимировать посредством уравнения второй степени:
Z — О-цХ2 -|-2Л|2Xy -(- 0-22у2
(члены первой степени исчезают вследствие горизонтальности касательной плоскости). Таким образом, элемент заданной поверхности аппроксимируется элементом параболоида. Считая эту поверхность второго порядка, отнесенной к главным осям (что всегда можно сделать путем поворота осей), можно написать уравнение в канонической форме
" IL
2 4'
где р и q с точностью до знака — параметры парабол в сечениях Ozy и Ozx.
устойчивость движения
17
Здесь возможны случаи:
1) р > О, q > 0; поверхность — эллиптический параболой ,
обращенный выпуклостью вниз. II0 = Птіш на основании теоремы Лагранжа — Дирихле равновесие устойчиво.
