Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Обморшев А.Н. -> "Введение в теорию колебаний " -> 17

Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.

Обморшев А.Н. Введение в теорию колебаний — Москва, 2000. — 278 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriukolebaniy2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 72 >> Следующая


¦ф(^) =-у- + а, cos (At -j- bx sinotf -)- a2cos 2otf-|- #2sin 2(0/1-}- ...

где коэффициенты Фурье вычисляются по формулам:

Здесь s = 0, 1, 2.......оо. Практически число п членов

ряда Фурье конечное, определяемое необходимой точностью вычислений и быстротой сходимости ряда коэффициентов; часто число п можно брать очень небольшим, а иногда даже равным единице.

Практическим приемам разложения функций в ряд Фурье посвящен специальный раздел математики, называемый гармоническим анализом. В следующем параграфе этот вопрос будет освещен несколько подробнее.

Введем обозначения:

или

CO

•ф (t) — ^ (as cos scot -f- bs sin sat), (2.88)

T

0

T

(2.89)

о

CLs = Fis sin 6,, ft, = AjCOSfis. Тогда приближенно

(2.90)

П

ф (t) = -у- + Yi hs sin (sat 4- 6,).

(2.91)

j=i

Вспоминая обозначение (2.85) и полагая

Hs = ahs,

(2.92)

5 А. Н. Обморшев
66

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. II

мы можем сказать, что выражение sin (sco^ —)— Sjr) предста-

вляет собой гармонику возмущающей силы порядка s, где Hs есть амплитуда соответствующей гармоники, 6^— начальная фаза. Каждому значению s естественно соответствует своя гармоника. Гармоника первого порядка (s=l) называется основной; ей соответствует основная частота (0.

Итак, имеем приближенно

П

q -JrWq = jT^hs Sin(SO)^Si). (2.93)

5 = 1

Общее решение данного дифференциального уравнения может быть представлено в виде суммы

q = q-\-q*, (2.94)

где q — общее решение соответствующего уравнения без правой части:

q= a sin (3),

a q*—частное решение данного уравнения. Мы говорим, что q определяет собой собственные колебания системы, q*—чисто вынужденные, a q — полное возмущенное движение системы, которому также приписывают наименование вынужденных колебаний.

Из курса математического анализа известно, что если правая часть линейного дифференциального уравнения представляет собой сумму какого-то числа M слагаемых, то частное решение будет являться результатом суммирования парциальных частных решений, т. е.

Л1-1

<7*= S C (2.95)

6 = 0

В частности, если правая часть уравнения представляет собой ряд Фурье, то парциальные решения должны соответствовать каждой гармонике. В таком случае очевидно, что

=#- (2.96)

есть постоянная величина, характеризующая смещение центра колебаний.
§ 8] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ БЕЗ СОПРОТИВЛЕНИЯ 67

Далее найдем одно какое-либо <7* при s Ф 0. Предполагая, что sco Ф k, ищем решение <7* в виде

q*s = Cssin (sat + ft,). (2.97)

Подстановка в уравнение (2.93) дает нам

р __ ^1S

s — k1 — (SO))2 '

Итак, вынужденные колебания происходят по гармоническому закону. Амплитуда вынужденных колебаний, соответствующая s-й гармонике возмущающей силы, как положительная величина равна:

<¦(2.98)

Поскольку Ci вообще имеет любой знак, будем различать два случая:

1) возмущающая гармоника малой частоты', «о < k, Cs > 0. Тогда решение имеет вид

<7* = a* sin(sco* -f- 6sy, (2.99)

2) возмущающая гармоника большой частоты: sco>&, Cs < 0. В этом случае решение имеет вид

(7* = a* sin (sat + Sjt-я), (2.100)

т. е. изменение знака Cs влечет за собой отставание фазы

колебаний. В первом случае возмущающая сила и вынужденные колебания находятся в одной фазе или, как говорят, синфазны, а во втором — в противоположных фазах или антифазны. Для обоих случаев q* можно выразить одной формулой

Я*в = Т^~(щ2- sin (s<-ot + (2.101)

Прежде чем перейти к случаю k = sa, рассмотрим так

называемое явление биений, когда sco мало отличается от k. He нарушая общности, мы допустим, что возмущающая сила синусоидальна, т. е. состоит из одной-единственной гармоники. Общее решение уравнения (2.93) будет иметь вид

q = A cos kt -f В sin kt -j- ^2 sin ((at -f б).
68

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. II

Итак, движение представляет собой наложение двух синусоид с круговыми частотами k и со. По начальным условиям

*=0, 17 = 170, q — q°

легко находим постоянные интеграции А ж В.

В самом деле, дифференцирование q дает нам

q = Ak sin kt —j- Bk cos kt -f- ~^2 m2 cos (to/ —{— 6)

и тогда

<7°sin6, fi = j-|-p^cosS. Общее решение принимает вид q=. jy3 cos kt -)--—-sin ktj —

---k'i [sin б cos kt-\--^- cos б sin ft/j -f-

+ ki-l.ai sin (of-f 6). (2.102)

Здесь первый член не зависит от возмущающей силы и определяет собой свободные колебания, обусловленные начальными условиями. Второй член представляет собой колебания с частотой свободных и обусловленных наличием внешней силы, а третий — вынужденные колебания с частотой возмущающих сил. Совокупность первых двух членов дает собственные колебания системы.

Предположим теперь, что CO и k близки друг к другу, т. е. имеем случай биений. Введем обозначение

k — со = 2г, (2.103)

где е—малая алгебраическая величина. Тогда co~ft — 2е, k H- ю = 2 (к — е),

и выражение во второй квадратной скобке уравнения (2.102) можно преобразовать следующим образом:

w , . ,, . ... і .. 2е
§ 8] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ БЕЗ СОПРОТИВЛЕНИЯ 69
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 72 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed