Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
¦ф(^) =-у- + а, cos (At -j- bx sinotf -)- a2cos 2otf-|- #2sin 2(0/1-}- ...
где коэффициенты Фурье вычисляются по формулам:
Здесь s = 0, 1, 2.......оо. Практически число п членов
ряда Фурье конечное, определяемое необходимой точностью вычислений и быстротой сходимости ряда коэффициентов; часто число п можно брать очень небольшим, а иногда даже равным единице.
Практическим приемам разложения функций в ряд Фурье посвящен специальный раздел математики, называемый гармоническим анализом. В следующем параграфе этот вопрос будет освещен несколько подробнее.
Введем обозначения:
или
CO
•ф (t) — ^ (as cos scot -f- bs sin sat), (2.88)
T
0
T
(2.89)
о
CLs = Fis sin 6,, ft, = AjCOSfis. Тогда приближенно
(2.90)
П
ф (t) = -у- + Yi hs sin (sat 4- 6,).
(2.91)
j=i
Вспоминая обозначение (2.85) и полагая
Hs = ahs,
(2.92)
5 А. Н. Обморшев
66
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. II
мы можем сказать, что выражение sin (sco^ —)— Sjr) предста-
вляет собой гармонику возмущающей силы порядка s, где Hs есть амплитуда соответствующей гармоники, 6^— начальная фаза. Каждому значению s естественно соответствует своя гармоника. Гармоника первого порядка (s=l) называется основной; ей соответствует основная частота (0.
Итак, имеем приближенно
П
q -JrWq = jT^hs Sin(SO)^Si). (2.93)
5 = 1
Общее решение данного дифференциального уравнения может быть представлено в виде суммы
q = q-\-q*, (2.94)
где q — общее решение соответствующего уравнения без правой части:
q= a sin (3),
a q*—частное решение данного уравнения. Мы говорим, что q определяет собой собственные колебания системы, q*—чисто вынужденные, a q — полное возмущенное движение системы, которому также приписывают наименование вынужденных колебаний.
Из курса математического анализа известно, что если правая часть линейного дифференциального уравнения представляет собой сумму какого-то числа M слагаемых, то частное решение будет являться результатом суммирования парциальных частных решений, т. е.
Л1-1
<7*= S C (2.95)
6 = 0
В частности, если правая часть уравнения представляет собой ряд Фурье, то парциальные решения должны соответствовать каждой гармонике. В таком случае очевидно, что
=#- (2.96)
есть постоянная величина, характеризующая смещение центра колебаний.
§ 8] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ БЕЗ СОПРОТИВЛЕНИЯ 67
Далее найдем одно какое-либо <7* при s Ф 0. Предполагая, что sco Ф k, ищем решение <7* в виде
q*s = Cssin (sat + ft,). (2.97)
Подстановка в уравнение (2.93) дает нам
р __ ^1S
s — k1 — (SO))2 '
Итак, вынужденные колебания происходят по гармоническому закону. Амплитуда вынужденных колебаний, соответствующая s-й гармонике возмущающей силы, как положительная величина равна:
<¦(2.98)
Поскольку Ci вообще имеет любой знак, будем различать два случая:
1) возмущающая гармоника малой частоты', «о < k, Cs > 0. Тогда решение имеет вид
<7* = a* sin(sco* -f- 6sy, (2.99)
2) возмущающая гармоника большой частоты: sco>&, Cs < 0. В этом случае решение имеет вид
(7* = a* sin (sat + Sjt-я), (2.100)
т. е. изменение знака Cs влечет за собой отставание фазы
колебаний. В первом случае возмущающая сила и вынужденные колебания находятся в одной фазе или, как говорят, синфазны, а во втором — в противоположных фазах или антифазны. Для обоих случаев q* можно выразить одной формулой
Я*в = Т^~(щ2- sin (s<-ot + (2.101)
Прежде чем перейти к случаю k = sa, рассмотрим так
называемое явление биений, когда sco мало отличается от k. He нарушая общности, мы допустим, что возмущающая сила синусоидальна, т. е. состоит из одной-единственной гармоники. Общее решение уравнения (2.93) будет иметь вид
q = A cos kt -f В sin kt -j- ^2 sin ((at -f б).
68
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. II
Итак, движение представляет собой наложение двух синусоид с круговыми частотами k и со. По начальным условиям
*=0, 17 = 170, q — q°
легко находим постоянные интеграции А ж В.
В самом деле, дифференцирование q дает нам
q = Ak sin kt —j- Bk cos kt -f- ~^2 m2 cos (to/ —{— 6)
и тогда
<7°sin6, fi = j-|-p^cosS. Общее решение принимает вид q=. jy3 cos kt -)--—-sin ktj —
---k'i [sin б cos kt-\--^- cos б sin ft/j -f-
+ ki-l.ai sin (of-f 6). (2.102)
Здесь первый член не зависит от возмущающей силы и определяет собой свободные колебания, обусловленные начальными условиями. Второй член представляет собой колебания с частотой свободных и обусловленных наличием внешней силы, а третий — вынужденные колебания с частотой возмущающих сил. Совокупность первых двух членов дает собственные колебания системы.
Предположим теперь, что CO и k близки друг к другу, т. е. имеем случай биений. Введем обозначение
k — со = 2г, (2.103)
где е—малая алгебраическая величина. Тогда co~ft — 2е, k H- ю = 2 (к — е),
и выражение во второй квадратной скобке уравнения (2.102) можно преобразовать следующим образом:
w , . ,, . ... і .. 2е
§ 8] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ БЕЗ СОПРОТИВЛЕНИЯ 69