Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
§ 10] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ С СОПРОТИВЛЕНИЕМ
95
мер, для установки двигателей, которые не должны оказывать вибрирующего действия на основание. Амортизирующие подвески применяют также для установки приборов с целью предохранения их от внешних сотрясений. В акселерометрах — приборах для регистрации ускорений, напротив z будет малым, так что I—Z2 1 и а* я* fz2, т. е. пропорционально ускорению, которое при гармоническом возмущении пропорционально квадрату возмущающей частоты, а следовательно, и Z2.
В заключение следует отметить, что все вышеприведенные расчеты были выполнены для гармонического возмущения или для первой гармоники произвольного периодического возмущения.
Однако эти расчеты остаются в силе и для произвольной гармоники. Только в этом случае всюду вместо z следует ставить sz, где s — порядок гармоники.
s
P
Рис 47,
/
Q
/77
P
'3,
О,
о
Пример 1. Индикатор паровой машины (рис. 47).
Индикатор состоит из ци-
линдра S, в котором перемещается поршень M CO стержнем AM, поршень удержи-
вается пружиной D. За начало координат примем точку О, т. е. положение равновесия поршня индикатора при отсутствии возмущающей силы, / — статистическое удлинение пружины. Рассмотрим момент времени, когда поршень индикатора движется вверх. Дифференциальное уравнение движения последнего имеет вид
тх — Q — Q1 — Q2 — Р,
где P — вес поршня, Q1 = с (х — /) — сила упругости; Qa = Ьх—
сила сопротивления; Q — mty (t) — сила давления пара. Так как
в положении равновесия с/ = P, то после обычиых преобразований получим
х -f- 2пх + к2х = ф (t),
где
CO
d,
S=I
96 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. 11
Считая, что сопротивление мало, и ограничиваясь конечным числом членов, получим закон движения в следующей форме:
N
X = ae~nt sin (v* + р) + + cC sin (sat -f — е^).
5 = 1
Вследствие затухания первым членом справа можно пренебречь, так как он с течением времени стремится к нулю. Второй член определяет смещение центра колебаний и зависит от величины среднего давления пара. Из членов, стоящих под знаком суммы, наибольшее значение имеет первый член, определяющий первую гармонику. Последующие члены суммы обычно быстро убывают.
Выясним, каким условиям должны удовлетворять параметры индикатора, чтобы первая гармоника давления пара была достаточно точно записана. На основании формул (2.123), (2.128) и (2.І30) соответствующее частное решение имеет вид
х* = X1 sin (arf —1— б, — S1),
где X1=X и E1=E определяются по формулам (2.128) и (2.129). Очевидно, для корректной записи колебаний давления X1 должно быть близким к единице, a E1 — к нулю. Обоим этим условиям мы удовлетворим, если возьмем г достаточно малым (г да0). Для этого нужно, чтобы было k ю, т. е. чтобы собственная частота колебаний индикатора была много больше основной регистрируемой частоты. Следовательно, пружина должна быть достаточно жесткой. В этом случае
H1
с
?
(~) *i » -J- sin (at + 6,).
Z
Конечно, в действительности дело обстоит сложнее, так как, во-первых, несмотря на .. убывание ряда коэффициентов Фурье, мо-
^ИСі жет оказать влияние какая-либо гармо-
ника высшего порядка, для которой яо близко к к, а во-вторых, играют роль также и собственные колебания поршня хотя они и затухают.
Пример 2. Электрический контур с генератором переменного тока (рис. 48).
Если ? = E0 sin сot есть электродвижущая сила генератора, вращающегося с угловой скоростью со, то, очевидно, уравнение тока в рассматриваемом контуре будет иметь вид
L + Ri +-І- J Idt = E0 sineot,
где все обозначения уже известны (стр. 42).
§ 11] ПРОИЗВОЛЬНЫЙ ЗАКОН ВОЗМУЩАЮЩЕЙ СИЛЫ 97
Дифференцируя обе части этого уравнения по времени, получаем
Для вынужденных колебаний тока решение очевидно. Оно найдется по уравнениям (2.123) и (2.125)
Мы получили уравнение переменного тока, написанное в таком виде, как это принято в электротехнике,
§ 11. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ ЗАКОНЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ СИЛЫ
При всем большом практическом значении периодического возмущения, действующего на колебательную систему, дело им не ограничивается, и можно указать случаи, когда возмущающая сила не является периодической. Например, действие морского прибоя на какое-либо береговое сооружение суммируется из действий волн
ставляет интерес рассмотреть
случай произвольной возмущающей силы. Это тем более важно, что изложенный выше анализ движения с помощью рядов Фурье перестает быть эффективным даже при периодическом возмущении, если сила изменяется достаточно резко, как, например, на рис. 49. В этом случае коэффициенты
или
. dH di . 1 . „ ,
1HF +rW +-C1 = cos(ot
-jg- + 2/i|i +ft*/-A sin (<* + «),
где
г* =
COS (иt + є),
где
е = arctg
различных периодов, вообще не &
соизмеримых между собой, и поэтому мареограф — прибор для регистрации уровня воды в море дает непериодическую кривую. Вследствие этого пред-
Рис. 49.
7 А. Н. Обморшев
98 ЛИНЕИНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. II
