Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Фурье образуют медленно сходящийся ряд, и метод становится громоздким. В таком случае предпочтительнее пользоваться известным из курса дифференциальных уравнений [24] методом вариации произвольных постоянных. Мы рассмотрим три случая.
А. Сопротивление отсутствует
Решение уравнения (2.87)
q + k2q = ^(t),
где ij) (t)— произвольная функция времени, может быть записано в том виде, что и решение однородного уравнения, именно:
q = ATi cos kt-\- K2 sin kt. (2.139)
Однако здесь уже AT1 и K2 не постоянные, а некоторые функции времени, которые должны быть так подобраны, чтобы удовлетворить данному уравнению. Дифференцируя (2.139), имеем
q = Ki cos kt -J- K2 sin kt -J- k (— K1 sin kt + K2 cos kt).
Так как мы ввели две неизвестные функции Kx и K2, то можно связать их некоторым условием. Положим
К\ cos kt -)- K2 sin kt = 0. (а)
При таком условии выражение для q будет иметь такой же вид, как и в случае постоянных К\ и K2- Тогда
q = k(— Ki sin kt + K2 cos kt) — k2 (Ki cos kt -J- K2 sin kt)
и подстановка в уравнение (2.87) дает
— K1 SinA^-)- K2 cos kt = -J- ij) (t). (б)
Решая совместно уравнения (а) и (б) относительно K1 и K2, имеем
§ II] ПРОИЗВОЛЬНЫЙ ЗАКОН ВОЗМУЩАЮЩЕЙ СИЛЫ 99
откуда интегрированием находим
t
Kx = Cl — j-J ij) (и) sin ku du,, о
t
K2 = C2-jI- y J -ф(я)cos ka da,
о
где переменная интегрирования обозначена через а.
Подставляя Ki и K2 в (2Л 39) и внося под этот интеграл cos kt и sinkt, после простых преобразований получим
t
q = C1 cos kt -f- C2 sin kt + у J ^(«)sin&(/—u)du, (2.140)
о
где C1 и C2—произвольные постоянные, определяемые из начальных условий и совершенно не зависящие от возмущающей силы. В самом деле, при ^ = O интеграл в формуле (2.140) обращается в нуль так же, как и его производная по t. Заметим, что этот интеграл вообще не является периодической функцией времени, даже в предположении периодичности l|)(0-
Б. Малое сопротивление
Обратимся теперь к уравнению (2.122): q-f 2nq +k2q = ${t),
в котором положим п < k. Представим решение этого уравнения в форме:
q z=e~nt (Ki cos vt K2 sin vt), (2.141)
считая Ki и K2 функциями времени; здесь
V = — га2.
Образуем производную от (2.141) q — e~nt [(Af'i cos vt-\- K2 sin v^) —
— га (Ki cos -f- K2 Sin vt) — v (/C1 sin — K2 cos v/)],
7*
100 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. II
и функции К\ и K2 подчиним условию, аналогичному (а)
К\ cos -|- K2 Sinv^ = 0.
Находя, далее, q и подставляя значения q, q и q в уравнение (2.122), после упрощений получим
— K1 sin K2 cos (^).
Решая два последних уравнения относительно K1 и K2, после интеграции находим
t
Kx = Cl — J enaty (и) sin vu du,
о
t
K2 = C2 -)- -i- J enaty (и) cos Vu du,
о
где и — переменная интегрирования, a C1 и C2 — произвольные постоянные, определяемые по начальным условиям. Подставляя эти значения в выражение для q (2.141) и производя простые тригонометрические преобразования, приходим к окончательной форме решения:
q = e~nt (C1 cos vt C2Sin v^)-)-
t
+ J e-”<*-K)ij)(M)sinv(^ — u)du. (2.142)
о
Нетрудно видеть, что при П = О, V= k, и мы приходим к решению (2.140).
В. Большое сопротивление
Полагая теперь в уравнении (2.122) п > k, запишем решение с помощью гиперболических функций
q = e~ ^ (K1 ch Kt+K2 sh Kt), (2.143)
где Кх> K2 — функции времени и
K=^ri2 — k2.
§ II] ПРОИЗВОЛЬНЫЙ ЗАКОН ВОЗМУЩАЮЩЕЙ СИЛЫ Ю1
Дифференцируя (2.143) по времени, имеем
q — g-nt ц/q Cj1 и^_|_ /^2 sh —
— п (К\ ch Kt -f- K2 sh Kt) -f- к (Ki sh кt -f- K2 ch Kt)].
Подчиняя функции K1 и K2 условию (а)
K1 ch yj K2 sh кt = О,
из уравнения (2.122), после подстановки q, q, q находим K1 sh %t -j- K2 ch Kt == —¦ entty (t).
Решая последние два уравнения относительно AT1 и K2 и интегрируя полученные равенства, получаем
t
K1 = C1 — J ев“т|з (и) sh ки du,
о
t
K2 — C2 -f- J ея“г|) (и) ch ки du,
о
где C1 и C2—произвольные постоянные. Подстановка в формулу для q (2.143) дает нам окончательную форму решения
q = e~nt (C1 ch Kt C2 sh кt) -f-
t
+ J e-”(/-“H|)(M) sh K(t — и) du. (2.144)
о
Пример 1. Исследовать действие гармонического возмущения на систему без сопротивления. Пусть
ф (t) = h sin сot и в начальный момент времени ^ = O
Я = 9о, Q = Qo-Из выражения (2.140) легко найти, что
Q ~ ?0> =
102 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. II
Для вычисления интеграла от функции sinaa sin fe(?— и) выполним тригонометрическое преобразование
sin и и sin k (t — и) = sin и и (sin kt cos ku — cos kt sin ku) =
= {sin kt [sin (CO —{— fe) M —J— sin (и — k) и] —
— cos kt [cos (и — k) и — cos (и-)- k) и]}.
Если (о ф к, то t
J sin (Ои sin k (t — и) du = о
1*11, уі Г cos (<а k) и cos (<а — k) и ~[
— 2 0| (S П L &-\-k и — k J
и* Г sin (и — к) и sin (ra + i)»ll
-cos L ¦
Отбрасывая свободные колебания и выполняя преобразования, находим известное решение
-X sin^)-
Допустим теперь, что ю = k, т. е. имеем случай резонанса. Тогда t
