Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Р(х, у) = ах + by + P1 (х, у), I
Q(x, y) = cx + dy+Q1(x, у), /
тогда, исключая время t, получим
dy_ _ сх -\-dy + Qi (х, у) (о
dx ах + by + P1 (х, у) ' 1 '
Допустим (и это обычно имеет место), что нелинейные функции P1 (X, у), Q1 (х, у) разложимы в степенные ряды в окрестности какого-либо положения равновесия. В этом случае, если коэффициенты а и Ь, а также с и d одновременно не равны нулю, то в малой окрестности соответствующей точки структура интегральных кривых такая же, как и для линейной системы, в которой P1 = Q1 = O. В таком случае говорят, что топологическая структура малой окрестности особой точки для обеих систем одинаковая и особые точки для нелинейных систем те же, что и для линейных. Искажение же этой структуры наступает при достаточно большом удалении от особой точки.
Более сложный случай имеет место, если разложение Р(х, у) или Q(x, у) начинается с нелинейных членов. Тогда могут появляться особые точки, не известные из линейной теории, как, например, точка возврата *). При исследовании механических колебаний обычно Р(х, у) = у и тогда усложнение может внести лишь функция Q1 (х, у).
*) Этот вопрос подробно рассмотрен в книге [27].
108
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IlI
На основании сказанного представляет интерес изучение топологической структуры значительной области фазовой плоскости — иногда даже всей плоскости. Это удобно сделать с помощью функции энергии F (х) [равенство (3.5)]. Построим для некоторой системы кривую энергии Z = F(X) (рис. 50, а) и фазовую диаграмму (рис. 50, б). На первой
из них проведены горизонтали, соответствующие различным значениям постоянной h. Кривая энергии имеет точку минимума А, точку максимума В и точку перегиба С. Минимуму энергии соответствует на фазовой диаграмме особая точка а — центр, максимуму — особая точка b — седло; наконец, точке перегиба соответствует особая точка с — точка возврата, не встречающаяся в теории линейных систем. Цифрами обозначены интегральные кривые, каждая из которых состоит из одной (2, 8, 5) или нескольких фазовых траекторий (1 и 4). Интегральные кривые, проходящие через особые точки, называются сепаратрисами или разделяющими, поскольку
КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
109
они делят фазовую плоскость на области, в которых структура фазовых траекторий вообще различна. На рис. 50 сепаратрисой является кривая 4" — 4— 4'.
Движение называется вибрационным или либрационным, если соответствующая фазовая траектория, не имея в себе особых точек, замкнута вокруг центра (кривая 3). В этом случае имеем незатухающие колебания. Движение называется ротационным, если фазовая траектория является периодической относительно х кривой. Движение называется лимитационным, если изображающая точка асимптотически стремится к особой точке. Такова, например, на рис. 50 ветвь траектории 4, лежащая слева, а также справа снизу от седла Ь, и, кроме того, нижняя часть кривой 1, т. е. 1". Движение называется инфинитным или убегающим, если изображающая точка уходит в бесконечность (например, верхняя правая ветвь кривой 4, т. е. 4', или кривой 1, т. е. 1', а также кривая 5).
Поскольку сепаратрисы разделяют области различной топологической структуры, знание их существенно, если необходимо исследовать движение в конечной части фазовой плоскости. &
Разложив синус в ряд в окрестности положения равновесия <р = 0, найдем
Пример. Маятник (рис. 51). Положив в дифференциальном уравнении движения маятника
получим
/77
Рис. 51.
Следовательно, в этом случае [см. выражение (3.7)] а = 0, 6 = 1, P1 (х, у) = 0,
с —-f, d-0, Q1 (*, у) --g-f-Xs-T^o fx*+ •"
HO
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. III
Интегрирование уравнения
dy g sin х
dx ~ I у
дает
2g
у2 = cos x-j- h.
На рис. 52 представлена фазовая диаграмма движения. Мы видим, что могут иметь место: I) либрационные движения (/,
2, 2' и 2") — колебания маятника около положения равновесия;
2) ротационные движения (3 и 4), возникающие при сообщении маятнику достаточно большой угловой скорости в ту или другую сторону. Кривая S является сепаратрисой с седлами Mu М_и ... Какая-либо ветвь сепаратрисы есть фазовая траектория движения с такой начальной угловой скоростью, при которой маятник асимптотически приближается к своему вертикальному обращенному положению, не переходя через него. Тот или иной случай зависит от значения А, т. е. от начальных условий.
Положения устойчивого равновесия определяются точками О, А, Al, ...; это — особые точки типа центра. Очевидно, что в реальной модели эти точки совпадают, и мы имеем два положения равновесия: О — устойчивое, M — неустойчивое.
Б. Количественное исследование
Рассмотрим сначала возможность получения точного решения уравнения (3.2). Первый интеграл его очевиден; это есть интеграл энергии, определяемый уравнением (3.1) или (3.4). Последнее уравнение, если перейти к обобщенной координате, можно представить в виде
q=±Vh-F{q).
I
КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
111
Колебания возможны лишь тогда, когда подкоренное выражение для некоторых значений q, и притом более чем для одного, обращается в нуль. Знак выбирается в соответствии с начальными условиями. Итак, имеем
