Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
а) под действием подходящих сил система может расположиться но любой геометрической линии;
!) Collected Papers, т. 1, стр. 514 — 525, т. 2, стр. 161—207.
2) Луиджи Кремона родился в Павии в 1830 г., умер в-Риме в 1903 г. Преподавал последовательно в университете в Болонье, в Высшем техническом институте Милана и с 1873 г. до конца жизни в университете в Риме, руководя одновременно там же Школой инженеров. Из многочисленных научных трудов Кремона, которые, кроме ыемуара, приведенного в тексте, выходят из области механики, здесь достаточно упомянуть открытие бирациональных преобразований, связанных с его именем.
3) Милан, 1872. См. также: Opere matematiche, т. III, стр..336—366. Более рбширные и систематические приложения этого метода можно найтн у С. Saviotti, La Statica grafica, т. III, Милан, 1878; L. Henneberg, Die graphische Statik der starren Systeme, Лейпциг, 1911; M. Levy, La Statique graphique, ч. I, изд. З, Париж, 1907. .[См. также В. JI. К и р п и ч е в, Основания графической статики, 1923. (Прим. ред.)] 194 гл- Xiv- СТАТИКА. СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ, НИТЕЙ и ТОНКИХ СТЕРЖНЕЙ'
б) дуга между какими-либо двумя точками системы сохраняет во всякой возможной ее конфигурации одну и ту же длину.
Примем в качестве постулата следующий физически непосредственно очевидный статический принцип: для равновесия гибкой и нерастяжимой нити AB, находящейся под действием двух сил Fv F2, приложенных к ее концам, необходимо и достаточно, чтобы нить была прямолинейна и силы были растягивающими, равными по величине и направленными в противоположные стороны.
Для краткости в изложении этой главы, говоря о нитях, мы будем всегда подразумевать, что они гибки и нерастяжимы, т. е. обладают только что указанными свойствами „а", „б".
36. Натяжение. Из постулата предыдущего пункта можно вывести важное следствие. Выбрав какую-нибудь точку P нити между концами А и В (фиг. 62), приме-
« --ним к одной из двух частей нити,
F1 AP Ф В F2 например, к АР, основные условия равновесия. Так как внешние Фиг. 62. силы (относительно АР) сводятся
к двум: к силе F1, приложенной в точке А, и к неизвестному усилию Ф, которое испытывает точка P со стороны смежного с нею элемента части PB нити, то мы видим, что усилие Ф должно быть прямо противоположно силе Fu т. е. равно F2. Таким образом, усилие Ф всегда направлено так, что оно растягивает часть AP нити, т. е. от P к В', поэтому его называют натяжением. Натяжение одно и то же для всех точек P нити.
Совмещая, в частности, P с А, мы увидим, что А испытывает со стороны нити натяжение, равное силе F2, прямо приложенной на другом конце. Таким образом, действие силы передается неизменным вдоль нити, пока нить прямолинейна, находится в равновесии и на нее не действуют другие силы, кроме сил, приложенных на концах.
Этой передачей силы посредством нити мы уже пользовались во многих конкретных примерах (и при менее простых обстоятельствах); при этом мы пришли к некоторым законам, хотя и. приближенным путем (гл. YII, § 6). Как на самом деле протекает это явление, мы исследуем в н. 58-
36. Условия равновесия. Рассмотрим теперь часть нити, на которую силы действуют не только на концах, но также и в некотором числе (конечном) каких-нибудь промежуточных точек.
Обозначим через P1 и Pn два конца, через Ps, P3, ..., Pn^1 промежуточные точки, к которым приложены силы, и через Fi силу, приложенную в Pi (і — 1, 2, ..., п). § 7. гйбкиё и нерастяжимыё нитй
195
Для того чтобы знать, может ли и при каких условиях (если может) нить находиться в равновесии, заметим прежде всего, что в силу принятого постулата отдельные части PjP<+1 (і = 1, 2, ... ..., п — 1) нити должны быть прямолинейными.
Выбрав какие-нибудь две точки Ai и В{+1 (фиг. 63) между Pi и Pi+J (в написанном порядке), найдем, что часть AiBi+1 нити должна находиться в равновесии под действием натяжений на концах. Обозначим через Ф<,*+і натяжение, действующее в В{+1] при равновесии, как мы видели, оно направлено в сторону от Pi к Рі+1 и не зависит от положения Bi+l. Аналогично, обозначим через Фі+і,< натяжение, действующее в Ai; оно направлено в сторону от Pi+1 к Pi, не зависит от положения Ai и уравновешивает натяжение Ф<,<+і, что выражается равенством
ФІ,І+І =— Ф<+і,ь (4)
где индекс і может принимать значения 1, 2, ..., п—1. Эти векторные соотношения между натяжениями тождественны по форме с равенствами (4) п. 5, которые получаются для усилий в случае равновесия Ff V системы, состоящей из твердых стержней, \ сочлененных посредством шарниров. \ Прежнюю форму сохраняют также и дру- Р\ гие условия равновесия.
Действительно, выразим то обстоятель- ' \ ство, что элемент BiPiAi нити, содержа- Фиг. 64.
щий точку Pi (і = 2, 3, ..., п — 1), находится в равновесии. Представляя себе, что Bi и Ai бесконечно близки к Pi, мы можем рассматривать этот элемент как материальную точку, на которую действуют три силы: прямо приложенная сила Fi и натяжения нити в Bi и в Ai, соответственно равные Ф(,<—і = =— Фі-і.і, Фм-и- Приравнивая нулю их результирующую, получим равенства (5) п. 5- Аналогично, рассматривая два крайних элемента типа PiA1, BnPn (фиг. 64) и принимая их за материальные точки, мы будем иметь уравнения (6) п. 5 для концов.
