Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
PiPb-
Сравнивая силовой многоугольник или диаграмму „б", полученную таким образом, с веревочным многоугольником или диаграммой „а" (ферма с прямо приложенными силами), отметим, что между ними существует следующее соответствие: 1) каждому отрезку одного соответствует в другом параллельный отрезок; 2) отрезкам, сходящимся в одном и том же узле диаграммы „а" (таких отрезков в рассматриваемом здесь случае простой треугольной фермы будет три, четыре или пять), на диаграмме „б" соответствует столько же отрезков, образующих многоугольник (соответственно треугольник, четырехугольник или пятиугольник), и, с другой стороны, тройкам сторон треугольников Т, T, Т", T'" диаграммы „а" на диаграмме „б" соответствуют тройки отрезков, сходящихся в соответственных одноименных точках.
Благодаря таким свойствам диаграммы „а" и „б" называются взаимными между собой; эта взаимность, представляющая собой соответствие между двумя плоскими фигурами, которое заключается в том, что отрезкам одной фигуры, сходящимся в одной точке, соответствуют на другой фигуре отрезки, образующие контур замкнутого многоугольника, распространяется и на более сложные случаи диаграмм „а" и „б" простых треугольных ферм.
Геометрическое объяснение такого соответствия, как мы увидим в следующем параграфе, следует искать в том, что две фигуры, находящиеся во взаимном соответствии, могут быть получены посредством ортогонального проектирования двух пространственных фигур, находящихся в некотором соответствии между собой.
В заключение заметим, пользуясь словами Кремона 1J, что, даже когда не следуют изложенным выше правилам построения силового многоугольника фермы *), задачу можно решить путем графического Определения внутренних усилий, но мы уже не будем иметь взаимных диаграмм, а вместо них будут фигуры более сложные и несвязные, где один и тот же отрезок, не находясь на своем
1J Opere matematiche, т. III, стр. 352.
*) Более подробные указания, относящиеся к построению диаграммы Кремона, можно найти, например, в книгах: В. Л. Кирпиче в, Основания графической статики, Москва, 1933; А. И. Некрасов, Курс теоретической механики, т. 1, Москва, 1945. (Ирин, ред.)§ 5. нулевая система
181
надлежащем месте, должен быть повторен или удален, чтобы дать место дальнейшим построениям, как это имело место в старом методе построения силового многоугольника для каждого узла конструкции.
§ 5. Нулевая система в качестве посредствующего звена между плоскими взаимными фигурами
27. Некоторые сведения из геометрии. Представим себе, как это обычно делается в проективной геометрии, два совмещенных пространства S и Sr и, относя их оба к одной и той же системе однородных декартовых координат (или даже, более общим образом, к проективным координатам), обозначим через хк (Jc = 0, 1, 2, 3) и xh Qi = 0, 1, 2, 3) координаты двух любых точек P и P', принадлежащих соответственно к S и S'.
Как известно, билинейное соотношение между координатами x'h и хк
3
2 ChkXhXk = О, (23)
h. к~0
в предположении, что соответствующий определитель
cOO С01 С02 cio cIl С1Я С20 С21 С22 с30 С31 с32
отличен от нуля, определяет проективное соответствие между точками каждого из двух пространств и плоскостями другого, которое называется взаимностью или корреляцией. Точке P с координатами хк первого пространства соответствует во втором плоскость тг' с однородными плюккеровыми (или, в более общем случае, проективными) координатами определяемыми, по крайней мере, с точностью до произвольного множителя р из равенств
S
puh — 2 ChkXk; (25')
й=о
таким асе образом точке Pr с координатами x'h второго пространства соответствует в первом плоскость от с координатами ик, определяемыми из формул
S
QUk= 2 СЦЬЧ' (25")
cOS сіз
І23
Зад
(24)182 гл. xiv. статика. стержневых систем. нитей и тонких стержней
Предположим, что билинейное соотношение (28) корреляции является кососимметрическим, т. е. что мы имеем
Cftft = O j (h = О, 1, 2, В),
Ohk +Okh = O J (h, к = О, 1, 2, 3; h^k), (26)
так что соответствующий определитель (24), который мы предположили отличным от нуля, будет тоже кососимметрическим 1X т. е. будет иметь вид
о Coi С02
_ cOl О С12
С02 С12 О
cOS cIS С23
В таком случае, как известно, корреляция называется нулевой системой и будет инволюционной в том смысле, что равенства (25'), (25"), когда в правых частях переменным хк и xh приписываются соответственно равные значения, дают пропорциональные значения для uh, ик.
Выражаясь в геометрической форме, можно сказать, что любой точке, рассматриваемой как в первом, так и во втором пространстве, корреляция относит одну и ту же плоскость.
Поэтому нет необходимости различать оба пространства, и соответствие можно рассматривать как соответствие между точками и плоскостями одного и того же пространства. Следовательно, вместо двух систем уравнений (25'), (25") можно рассматривать одну систему
з
PUh = 2 ChkXk (Ji = 0, 1, 2, 3). (25) й=о
Плоскость тг, соответствующая произвольной точке Р, называется полярной плоскостью точки Р, а точка P называется полюсом плоскости тг.