Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 1" -> 74

Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.

Леви-чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 1 — Москва, 1952. — 326 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriticheskoyfiz1952.djvu
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 134 >> Следующая


PiPb-

Сравнивая силовой многоугольник или диаграмму „б", полученную таким образом, с веревочным многоугольником или диаграммой „а" (ферма с прямо приложенными силами), отметим, что между ними существует следующее соответствие: 1) каждому отрезку одного соответствует в другом параллельный отрезок; 2) отрезкам, сходящимся в одном и том же узле диаграммы „а" (таких отрезков в рассматриваемом здесь случае простой треугольной фермы будет три, четыре или пять), на диаграмме „б" соответствует столько же отрезков, образующих многоугольник (соответственно треугольник, четырехугольник или пятиугольник), и, с другой стороны, тройкам сторон треугольников Т, T, Т", T'" диаграммы „а" на диаграмме „б" соответствуют тройки отрезков, сходящихся в соответственных одноименных точках.

Благодаря таким свойствам диаграммы „а" и „б" называются взаимными между собой; эта взаимность, представляющая собой соответствие между двумя плоскими фигурами, которое заключается в том, что отрезкам одной фигуры, сходящимся в одной точке, соответствуют на другой фигуре отрезки, образующие контур замкнутого многоугольника, распространяется и на более сложные случаи диаграмм „а" и „б" простых треугольных ферм.

Геометрическое объяснение такого соответствия, как мы увидим в следующем параграфе, следует искать в том, что две фигуры, находящиеся во взаимном соответствии, могут быть получены посредством ортогонального проектирования двух пространственных фигур, находящихся в некотором соответствии между собой.

В заключение заметим, пользуясь словами Кремона 1J, что, даже когда не следуют изложенным выше правилам построения силового многоугольника фермы *), задачу можно решить путем графического Определения внутренних усилий, но мы уже не будем иметь взаимных диаграмм, а вместо них будут фигуры более сложные и несвязные, где один и тот же отрезок, не находясь на своем

1J Opere matematiche, т. III, стр. 352.

*) Более подробные указания, относящиеся к построению диаграммы Кремона, можно найти, например, в книгах: В. Л. Кирпиче в, Основания графической статики, Москва, 1933; А. И. Некрасов, Курс теоретической механики, т. 1, Москва, 1945. (Ирин, ред.) § 5. нулевая система

181

надлежащем месте, должен быть повторен или удален, чтобы дать место дальнейшим построениям, как это имело место в старом методе построения силового многоугольника для каждого узла конструкции.

§ 5. Нулевая система в качестве посредствующего звена между плоскими взаимными фигурами

27. Некоторые сведения из геометрии. Представим себе, как это обычно делается в проективной геометрии, два совмещенных пространства S и Sr и, относя их оба к одной и той же системе однородных декартовых координат (или даже, более общим образом, к проективным координатам), обозначим через хк (Jc = 0, 1, 2, 3) и xh Qi = 0, 1, 2, 3) координаты двух любых точек P и P', принадлежащих соответственно к S и S'.

Как известно, билинейное соотношение между координатами x'h и хк

3

2 ChkXhXk = О, (23)

h. к~0

в предположении, что соответствующий определитель

cOO С01 С02 cio cIl С1Я С20 С21 С22 с30 С31 с32

отличен от нуля, определяет проективное соответствие между точками каждого из двух пространств и плоскостями другого, которое называется взаимностью или корреляцией. Точке P с координатами хк первого пространства соответствует во втором плоскость тг' с однородными плюккеровыми (или, в более общем случае, проективными) координатами определяемыми, по крайней мере, с точностью до произвольного множителя р из равенств

S

puh — 2 ChkXk; (25')

й=о

таким асе образом точке Pr с координатами x'h второго пространства соответствует в первом плоскость от с координатами ик, определяемыми из формул

S

QUk= 2 СЦЬЧ' (25")

cOS сіз

І23

Зад

(24) 182 гл. xiv. статика. стержневых систем. нитей и тонких стержней

Предположим, что билинейное соотношение (28) корреляции является кососимметрическим, т. е. что мы имеем

Cftft = O j (h = О, 1, 2, В),

Ohk +Okh = O J (h, к = О, 1, 2, 3; h^k), (26)

так что соответствующий определитель (24), который мы предположили отличным от нуля, будет тоже кососимметрическим 1X т. е. будет иметь вид

о Coi С02

_ cOl О С12

С02 С12 О

cOS cIS С23

В таком случае, как известно, корреляция называется нулевой системой и будет инволюционной в том смысле, что равенства (25'), (25"), когда в правых частях переменным хк и xh приписываются соответственно равные значения, дают пропорциональные значения для uh, ик.

Выражаясь в геометрической форме, можно сказать, что любой точке, рассматриваемой как в первом, так и во втором пространстве, корреляция относит одну и ту же плоскость.

Поэтому нет необходимости различать оба пространства, и соответствие можно рассматривать как соответствие между точками и плоскостями одного и того же пространства. Следовательно, вместо двух систем уравнений (25'), (25") можно рассматривать одну систему

з

PUh = 2 ChkXk (Ji = 0, 1, 2, 3). (25) й=о

Плоскость тг, соответствующая произвольной точке Р, называется полярной плоскостью точки Р, а точка P называется полюсом плоскости тг.
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 134 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed