Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
У — 2/1 = ^^(^ + 1^-xt—«)}. (41)
которое выражает параболу с вертикальной осью, обращенную вогнутостью вверх (так как коэффициент Pj2є<р члена второй степени относительно X существенно положителен).
Если уравнение (41) отнести к двум осям %, г\, параллельным осям X, у, направленным в ту же сторону и имеющим начало в самой нижней точке параболы, т. е. в ее вершине V, которая имеет координаты
, * (P'-Щ i(P'-2W
2 P' ' У* 8 Р'ч '
то оно примет вид
P' 62 1=2^-
38. Нить под действием непрерывно распределенной нагрузки. Рассмотрим тяжелую нить AB, находящуюся в равновесии под действием сил Fa и Fb, приложенных к ее концам, и сил тяжести. Сила тяжести (вес) действует на каждый элемент нити; если для определенности предположим, что нить однородна и обладает плотностью (линейной), равной единице (гл. X, п. 6), то можно считать, что каждый материальный элемент нити находится под действием силы gds (бесконечно малой того же самого порядка, что и ds), где д, как обычно, означает ускорение (вектор) силы тяжести.
Можно представить себе, что нить при помощи надлежащих искусственных приспособлений и благодаря специальным физическим условиям окружающей среды помимо (или сверх) силы тяжести подвергается, кроме (конечных) сил Fa, Fb, приложенных на концах, действию непрерывно распределенных сил, т. е. сил какой угодно природы, действующих на каждую сколь угодно малую часть нити. Так же, как в случае силы тяжести, мы будем считать, что на нить действует бесконечно много бесконечно малых сил, приложенных к различным материальным элементам ds нити; каждую из этих сил можно представить в виде Fds, где F есть некоторый конечный и определенный вектор (вообще говоря, непрерывно изменяющийся от элемента к элементу). Вектору F дано название нагрузка, или сила на единицу длины; модуль (как отношение силы в собственном смысле к длине) не имеет размерности i 1j. гибкие и нерастяжимые нити
199
силы. Причиной такого названия является то обстоятельство, что если вектор F остается постоянным вдоль некоторой части нити, то его можно определить как отношение результирующей сил, действующих на эту часть, к длине самой части, или, другими словами, как результирующую сил, действующих на часть нити, имеющую единицу длины.' В общем случае вектор F представляет собой предел только что указанного отношения при стремлении к нулю длины части нити, находящейся под действием сил.
Заметим еще, что всякую систему непрерывно распределенных сил можно рассматривать как предел системы конечного числа сил, приложенных к дискретной совокупности точек, в предположении, что число сил стремится к бесконечности и соответственно стремится надлеясащим образом к нулю всякая приложенная сила. Отсюда заключаем, что фигура равновесия нити в случае непрерывно распределенных сил представляет собой кривую (предел переменного веревочного многоугольника), которая называется веревочной привой. От этих интуитивных соображений мы обратимся теперь к рассуждениям аналитического характера, чтобы придти к дифференциальным уравнениям, определяющим веревочные кривые.
39, Натяжение. Пусть даны силы Fa и Fb, приложенные к концам нити AB, и сила F, отнесенная к единице длины нити; всякая часть нити АР, заключенная между точкой А и любой точкой P нити, испытывает в точке Р, вследствие соединения ее с остальной частью PB нити, некоторое усилие Т, аналогичное усилиям Ф отдельных стержней веревочного многоугольника. Поэтому для распространения на этот предельный случай свойств усилий, возникающих при действии дискретных сил, нам придется допустить, что усилие T направлено к точке, бесконечно близкой к Р, т. е. по касательной к нити в точке Р, и имеет характер растягивающего усилия. Оно называется натяжением нити в точке Р. Поэтому, если условимся обозначать через s дугу AP нити, отсчитываемую в направлении от 1 к В, которое мы будем считать положительным, натяжение для всякой определенной точки нити будет представлять собой вектор, касательный в точке M к нити, направленный в сторону возрастающих значений дуги s и зависящий от s.
Усилие в точке Р, испытываемое частью PB нити со стороны части АР, на основании принципа равенства действия и противодействия равно —T(s).
40. Уравнения равновесия. Для того чтобы получить уравнения равновесия нити, достаточно выразить то обстоятельство, что силы, действующие на каждый отдельный элемент нити, находятся в равновесии. На любой элемент нити, заключенный между точками с криволинейными абсциссами s и s-f- ds (фиг. 66), действуют три силы: активная сила Fds, натяжение в конечной точке s-j-ds элемента, 200 гл- xiv- статика. стержневых систем, нитей и тонких стержней'
равное T(s -j- ds), или, с точностью до бесконечно малых высшего порядка, T{s)-\-dT и, наконец, натяжение в начальной точке s элемента, равное, в силу сказанного в конце предыдущего пункта, —T(s). Так как элемент нити можно рассматривать как материальную точку (см. гл. X, п. 4), то необходимое и достаточное условие равновесия заключается в равенстве нулю результирующей этих трех сил и, следовательно, выражается векторным уравнением
