Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
f + F = О, (42)
которое должно выполняться для каждой точки Р, внутренней для дуги AB нити; это уравнение объединяет в себе неопределенные условия равновесия, т. е. условия равновесия произвольно выделенной части нити. Обратимся теперь к условиям на концах (по существу тождественным условиям (6) п. 5); выражая, что
каждый из концов А, В находится в равновесии под действием соответствующей силы Fa или Fb и натяжения, действующего на него со стороны нити, мы получим уравнения
Fa = -T(O), Fb = T(I), (43)
где I означает длину нити.
Уравнения (42), (43) вместе дают необходимые и достаточные условия равновесия. Следует заметить (как мы уже имели случай напомнить в п. в), что необходимые условия равновесия любой материальной системы всегда заключают в себе оба основных" уравнения для любой части системы. Первое основное уравнение мы уже приняли во внимание, так как мы применили его к произвольному элементу нити, получив таким образом уравнение (42). Если бы подобным же образом мы применили к этому элементу второе основное уравнение, приравнивая нулю результирующий момент (например, относительно конца s), то легко увидели бы, что это условие автоматически выполняется в силу предположения, что натяжение T направлено по касательной к нити. Поэтому можно было бы избежать предварительного введения этого геометрического предположения (которое оказывалось очевидным при переходе к пределу от случая веревочного многоугольника) и, наоборот, получить его затем в качестве следствия из второго основного уравнения.
4:1. Можно сделать вывод, что, как и в случае веревочного многоугольника (п. в), уравнения (42) и (43), так как они представляют собой необходимые и достаточные условия равновесия, должны содержать основные уравнения как для целой нити, так и i 1j. гибкие и нерастяжимые нити
201
для всякой ее конечной части. Для того чтобы проверить это, достаточно заметить, что и в этом случае каждое из уравнений (42), (48), поскольку оно выражает обращение в нуль результирующей трех (или двух) сил, действующих на один и тот же материальный элемент, который можно рассматривать как точку, можно истолковать как соотношение эквивалентности между системами приложенных векторов. То же самое истолкование остается и для уравнения, которое мы получим, интегрируя уравнения (42) вдоль нити между двумя точками P', Р" с криволинейными асбцис-сами s', s", т. е. для уравнения
которое как раз и выражает, что система всех внешних сил, действующих на любую часть Р'Р" нити, векторно эквивалентна нулю.
Уравнения (42), (43), будучи не только необходимыми, но и достаточными для равновесия, кроме основных уравнений, содержат все те дальнейшие условия, которые достаточны для того, чтобы обеспечить равновесие рассматриваемой (изменяемой) материальной системы.
42. Для того чтобы спроектировать векторное уравнение (42) на оси координат, вспомним, что растягивающее усилие T есть вектор, касательный к нити и направленный в сторону возрастающих дуг s, так что оно может быть представлено в виде T(s)t, где t есть единичный вектор dP/ds касательной, а функция T(s) существенно положительна. Поэтому проекции вектора T будут dx с1/if dz
равны T-^, 'Jr-, T-^. Если теперь X, Y, Z суть проекции силы, относящейся к единице длины, то из уравнения (42) получаем
Что же касается переменной величины s, то она не является произвольным параметром, а представляет собой длину дуги веревочной кривой, так что должна быть связана с х, у, г дифференциальным уравнением
Из предыдущего следует, что задача определения фигуры равновесия цитц под действием данных непрерывно распределенных сил
а"
T{s") — T(s')-\- f Fds = O,
(42') 202 гл- xiv- статика. стержневых систем, нитей и тонких стержней'
приводит к интегрированию системы дифференциальных уравнений. А именно: если силу, приходящуюся на единицу длины, можно рассматривать как позиционную, так что X, Y, Z являются известными функциями от х, у, я, то неизвестными задачи, если мы временно отвлечемся от условий на концах, являются четыре функции х (s), У (s), Z (s) и T (s), из которых первые три определяют веревочную кривую, а четвертая дает натяжение и, как мы знаем, должна быть существенно положительной.
Для того чтобы определить эти четыре неизвестных, мы имеем три уравнения (42') второго порядка (относительно х, у, z) и одно уравнение (44) первого порядка; произвольные постоянные, от которых зависит общий интеграл, легко вычисляются. Для этой цели заметим, что, продифференцировав уравнение (44), получим
dx сРх . dy d2y і dz d2s_- ґлл'\
откуда, выполнив в уравнениях (42') дифференцирование по s и просуммировав почленно, после умножения их соответственно на
dx dy dz ds ' ds ' ds
получим
+ (44-)
Теперь, пользуясь этим равенством, достаточно исключить из уравнений (42') dT/ds, чтобы можно было определить из них величины
Slx dhj dls
ds*' W' Wi''
на основании примечания 2 к п. 18, гл. II (ч. I, стр. 108) мы можем заключить, что общий интеграл системы, состоящей из уравнений (42') и (44"), зависит от семи произвольных постоянных. Но эта система, как это проверяется вычислением, обратным только что указанному, включает уравнение (44'), так что допускает интеграл
