Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Если число тяг велико, то практически можно рассматривать силы как распределенные непрерывно и допустить, что каждый элемент каната поддерживает половину части моста, непосредственно лежащую под этим элементом, между тем как другая половина приходится на второй канат.
Задача, поставленная таким образом, решается даже более просто, чем задача в п. 37, где рассматривались дискретно действующие силы; при этом мы придем к особенно простой формуле, постоянно применяемой в технике.
Прежде чем приступить к аналитическому решению, заметим, что конфигурация равновесия представляет собой параболу с вертикальной осью, обращенную вогнутостью вверх и проходящую через концы (предельный случай вписанного многоугольника).
46. Так как все силы вертикальны, то веревочная кривая будет плоской и можно исходить из уравнений (45) и (46) п. 44, если за плоскость ху принять вертикальную плоскость, проходящую через концы А, В рассматриваемого каната, а ось у направить вертикально (например, вверх), оставляя временно произвольным положение начала.
Вследствие этого, если структура моста одинакова по всей его длине и если мы обозначим через 2р все единицы длины моста, то каждый элемент ds каната будет находиться под действием вертикальной силы, величина которой равна произведению р на горизонтальную проекцию элемента ds (это произведение равно весу половины части моста, находящейся непосредственно под элементом ds).
Заметим теперь, что в силу первого из уравнений (45), в котором о является постоянной (отличной от нуля), dxjds не может обращаться в нуль. Если выбрать положительное направление (горизонтальной) оси X в сторону от Л к В, то производная dxjds всегда будет положительной, так как, не обращаясь в нуль, она не может изменить знак, и если бы она была отрицательной, то абсцисса х должна была убывать, когда s переходит от значения О (точка А) к значению I (точка В), тогда как, в силу способа выбора положительного направления оси х, абсцисса точки В будет больше абсциссы точки А. 206 гл- xiv- статика. стержневых систем, нитей и тонких стержней'
При этом соглашении dx (приращение, которое испытывает х при положительном приращении дуги ds) есть величина существенно положительная и представляет собой горизонтальную проекцию элемента. Сила, действующая на элемент dx, равна pdx и направлена по вертикали вниз; поэтому сила, приходящаяся на единицу длины каната, определяется выражением pdxjds, а ее проекция І на ось у (вертикальную и направленную вверх) — выражением
dx
Внося это значение в уравнения (45), получим
rj г о!®
ds \ dsj r ds '
(45')
где постоянную <р надо считать положительной; такой же должна быть и функция T по своей природе, а в рассматриваемом случае и dxjds.
47. Найдя таким образом дифференциальные уравнения равновесия, перейдем к их интегрированию.
Из второго уравнения (45') посредством одной квадратуры получаем
T^jL рх J const;
так как до сих пор были определены направления осей, а не положение начала, то мы можем путем поступательного перемещения осей параллельно оси х заставить ось у проходить через точку, в которой касательная горизонтальна, т. е. через точку, в которой dyjdx = О (скоро мы увидим, что речь идет о точке минимума). Таким образом, мы будем иметь
(47)
после чего достаточно будет разделить почленно это уравнение на первое из уравнений (45') и исключить T и s, чтобы получить дифференциальное уравнение
dx <р '
интегрирование которого, очевидно, дает
У — -щ х<2, + const,
где постоянная интегрирования обращается в нуль вследствие переноса начала координат в точку, лежащую на кривой. Благодаря i 1j. гибкие и нерастяжимые нити
207
этому уравнение веревочной кривой принимает вид
V = -^A (48)
а отсюда видно, что эта кривая есть парабола с вершиной в начале координат, имеющая осью симметрии ось у и обращенная вогнутостью вверх.
Что касается натяжения Т, то достаточно возвести в квадрат и сложить первое из уравнений (45') и уравнение (47) и принять во внимание равенство (46), чтобы получить
y2=^2 + ?2. (49)
Естественно, что натяжение будет минимальным и равным своей постоянной горизонтальной составляющей <р в самой низкой точке веревочной кривой (ж = 0).
48. Представляет интерес сравнение параболы (48) с параболой, которую мы получили в п. 37 как описанную вокруг веревочного многоугольника и которая, если отнести ее к главной оси (вертикальной) и касательной в вершине, выражается уравнением
Если мы примем во внимание соотношения
P а
P'.
2 (и — 2) ' п — 1
связывающие P' с весом P моста и расстояние є между тягами с несущей частью а (п. 37), то получим
P' (w-i)P / . 1 \ P , 4 (re— 2) «<р [1T n-2j 4«<f '
отсюда, если заставить число п — 1 тяг (предполагая их равноотстоящими друг от друга) стремиться к бесконечности, получим
T P' P
Iim -5— == -j—.
Мы видим, таким образом, что парабола (40'), описанная вокруг веревочного многоугольника, при п-> оо стремится к параболе (48).
49. Как бы ни были заданы условия на концах, предназначенные для того, чтобы определить конфигурацию равновесия, эта конфигурация представляет собой, при надлежащем значении механической постоянной <с, дугу параболы, выражаемой уравнением (48). В конкретных случаях чаще всего задаются, для каждого каната, концы А и В, расположенные на одном и том же уровне, 208 гл. xiv. ста.тнка. стержневых систем, нитей и тонких стержней
