Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 1" -> 75

Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.

Леви-чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 1 — Москва, 1952. — 326 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriticheskoyfiz1952.djvu
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 134 >> Следующая


Основное и характеристическое свойство нулевой системы состоит в том, что всякая точка лежит на своей полярной плоскости. В самом деле, выражение

з з

2 "A = P 2 ohl<xhxk

A=O ft, Zc=O

обращается тождественно в нуль в силу условий (26).

') Известно, что кососимметричеекие определители четного порядка (но не нечетного порядка) могут быть отличными от нуля и что всякий косо-симметрический определитель порядка 2п, отличный от нуля, равен квадрату однородного выражения п-й степени от элементов (пфаффиан). Так, р случае, рассмотренном в тексте, имеем

Q = (?91? + CQ2CSJ. + "93??)2.

соз cI з ^28 О

(24') § 5. нулевая система

183

Вследствие линейной (и, следовательно, проективной) природы соответствия, если точка P описывает прямую г, то совокупность соответствующих полярных плоскостей тг представляет собой пучок плоскостей; если прямая г' есть ось этого пучка, то, наоборот, каждой точке прямой г' соответствует полярная плоскость, проходящая через прямую г (а именно та, которая из этой точки проектирует прямую г). Две прямые, такие, как г, г' (т. е. обладающие тем свойством, что полярная плоскость любой точки одной из этих прямых проектирует другую прямую), называются взаимно полярными между собой или> как мы будем говорить для простоты, полярными.

Существуют прямые, полярные самим себе или, как обычно говорят, автополярные. Между ооа прямых, проходящих через любую точку Р, автополярными будут те, и только те, OO 1 прямых, которые лежат в полярной плоскости точки Р; и наоборот, среди оо2 прямых, лежащих в одной плоскости тг, автополярными будут те и только те OO 1 прямых, которые проходят через полюс плоскости тг. Таким образом, в пространстве имеется оо3 автополярных прямых, составляющих так называемый линейный комплекс рассматриваемой нулевой системы.

28. Приведение к каноническому виду уравниний нулевой системы. Для приложений, которые мы имеем в виду, удобно рассматривать хк как однородные декартовы координаты. А именно, положим

х0: Xj: Xq ; xs — 1: х : у: z (27)

и соответственно введем систему плюккеровых координат Ut V, Wt связанных с х, у, з:

м0: U1: и2 : и3 = 1 \ u\ v.w, (27')

После этого полярную плоскость тг любой точки P с координатами (27) можно определить как плоскость, проходящую через P и (так как ее плюккеровы координаты и, v, w пропорциональны Uu м2> м'з) перпендикулярную к вектору с проекциями, пропорциональными значениям, которые получаются для ult и2, и3 из трех последних уравнений (25) в соответствии со значениями (27).

Между определенными таким образом векторами выберем вектор M с проекциями

= <»10 + * + <»»!/ +«18*, M2 = C20 + ^ + * +C23Zt ¦ (28)

Ms = Cso +с31х +C3^y+ *

и введем затем два вспомогательных вектора: вектор M0 с проекциями ch0 (h = 1, 2, В) и вектор JS с проекциями C32, с13, C21, что равносильно равенству Bh = ch+2.h+1, при условии рассматривать как 184 гл. xiv. статика. стержневых систем. нитей и тонких стержней

тождественные те индексы, разность которых равна 3. Вследствие этого равенства (28) можно объединить в одно векторное равенство

M = 3f0 +PO X В, (29)

которое, если сравнить его с равенством (24) п. 32 гл. I, показывает, что вектор Ж зависит от точки P так, как если бы он был результирующим моментом системы S приложенных векторов, имеющих результирующим вектором R и результирующим моментом относительно начала координат Ж0.

Это истолкование позволяет без каких-либо вычислений выполнить ту замену координат, которая приводит кососимметрическое уравнение (23) нулевой системы к наиболее простому виду. Прежде всего заметим, что инвариантный трехчлен T систем S определяется равенством

T = M0-R = c10c32 + c20c13 4- ceoc21 = c01c28 + c02c81 + c03c12,

т. е. представляет собой пфаффнан, который, по возведении в квадрат, дает определитель (кососимметрический) формы, стоящей в левой части соотношения (23), согласно предположению отличный от нуля.

Поэтому имеем также T ^ 0, так что система S имеет вполне определенную центральную ось (см. гл. I, п. 36). Мы примем ее за ось з, ориентируя эту ось в сторону вектора R. В силу этого будем иметь:

-Ri = C32 = 0, P2 = C13 = 0, -R8 = C21 = В > О,

^oii = cio = o. ^oia = c20 = o, M013 = c30 — ± ж" ^ 0.

Уравнение (23), если примем во внимание соотношения (27), получит вид

±М{з — з')+В (ху' — уз/) = О M ,

ИЛИ, если ПОЛОЖИМ Ц-J^ = K,

~к{з— з') = ху' — ух'. (30)

29. Дальнейшие геометрические замечания о нулевой системе. Прежде чем воспользоваться свойствами нулевой системы для целей, которые мы здесь себе поставили, остановимся несколько на иллюстрации этих свойств, основываясь на указанном ранее построении полярной плоскости ТГ любой точки P как плоскости, проходящей через P и перпендикулярной к соответствующему результирующему моменту Ж заданной системы S приложенных векторов. Продолжая обозначать через R результирующий вектор системы, обозначим через Ж0 результирующий момент относительно нового начала, т. е. (так как за ось з была принята центральная ось) наименьший момент, направленный вместе с R по этой центральной оси. § 5. нулевая система
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 134 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed