Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
189
по величине и направлены каждый в сторону соответствующей силы.
Чтобы убедиться в этом, представим себе, что выбрана система декартовых осей координат Oxys, имеющая плоскостью s = О ортографическую плоскость и осью S центральную ось нулевой системы, так что соответствующее уравнение будет иметь вид (30), и обозначим через Si, rji, О координаты любой точки Mi(г — 1, 2, ..., п). Теперь остается подходящим образом выбрать третью координату Ci для каждой отдельно взятой точки SKi (первые две координаты которой суть Iif Tji).
Заметим сначала, что для системы сил Fi существует оо2 силовых многоугольников, наложимых друг на друга посредством поступательного перемещения, поэтому достаточно закрепить положение одной из вершин для того, чтобы многоугольник был однозначно определен. Выбрав один из этих многоугольников и обозначив его через Q1Q2 ... Qn, предположим, что
«ІУ + РІ = 0 (і = 1, 2, ..., п) (31)
есть уравнение стороны QiQitl в нормальном виде, где а{, Pi обозначают направляющие косинусы силы Fi.
Наша цель будет достигнута, если мы покажем, что при надлежащем выборе высот Xi отдельных точек SKi каждой отдельно взятой прямой MiMijcl фигуры F соответствует [как проекция на плоскость S = 0 поляры прямой SKiSKitl относительно нулевой системы (30)] прямая QiQitl с уравнением (31). Для этой цели заметим, что, на основании уравнения (30), уравнения поляры прямой SKiSKftl (пересечения плоскостей, полярных точкам SDii и SKi+j) имеют вид
— Q = ЪУ> Ъ{г — Ci+1) = irji+1^ — Ь+іУ, (32)
так что уравнение проекции этой поляры на плоскость з = 0, т. е. уравнение прямой, взаимной с MiMi^u получится, если мы исключим з из уравнений (32). В результате мы получим уравнение
-Tt ACi = х Ayii-у Mi (i=l, 2, ..., »), (33)
где положено
д?< = 5<+1 —&<> a^ = ^+1-?; Ati = ^+1 — Ь
(» = 1,2,...,») (34)
Рассматривая теперь общий случай, когда две точки Mi (Si, Yji), Mi+1(zi+1, 7|i+1) различны, вспомним, что соединяющая их прямая есть линия действия силы Fi, направляющие косинусы которой — а{, Pi, так что при подходящем множителе Xi (по величине равном расстоянию MiMi+1) будем иметь
Mi = IiCCi, Arii = Xi^i (» = 1,2,...,») (35) 190 гл- xiv- статика. стержневых систем, нитей и тонких стержней'
и уравнение (BB) можно будет написать в виде
— Ci = Pi*-«і?/. (33)
Для того чтобы это уравнение было тождественно с уравнением (31) прямой QiQi+j, необходимо и достаточно, чтобы было
ACi = C841-Ci = ^f- (» = 1,2,...,»). (36)
Если Мі+1 совпадает с Mi, то достаточно представить себе, что X1 стремится к нулю, чтобы заключить, на основании самого уравнения (36), что в пределе мы получим ACi = 0; таким образом, если совпадают две (или более) последовательные точки М, то будут совпадать также и соответствующие им вершины многогранника DJi.
Выбрав произвольно одну из величин С, например C1, из первого из уравнений (36) мы получим значение C2; складывая почленно два первых уравнения (36), получим C3; продолжая таким образом, найдем Ся, сложив почленно первые п — 1 уравнений (36).
После этого остается только проверить, удовлетворят ли полученные таким образом значения для Ci последнему из уравнений (36). Эту проверку можно выполнить, установив, что последнее уравнение является следствием остальных; в справедливости этого можно убедиться, складывая почленно все уравнения (36) и замечая, что получающееся в результате уравнение представляет собой тождество.
Действительно, прежде всего ясно, что сумма левых частей будет тождественно равна нулю, так что все сводится к тому, чтобы убедиться, будет ли равна нулю также и сумма правых частей, или, что равносильно, будет ли равно нулю выражение
п
о = 2 X1Pi.
і=і
Это следует из обычного истолкования о. Обозначив через Xi, у4 координаты точки Qi, лежащей вместе с Qi+1 на прямой, выражающейся уравнением (31), будем тождественно иметь
PiXi-CtiIJi + Pi = O (»=1, 2, ..., »),
так что можно написать
п
а=2 К (аіУі—№ І), <=і
или, на основании равенств (35) и (34),
п
а = — 2 [Уі (? + ! — У — Zi (% +1 — 1?)]. г=і § 6. приложение к фермам
191
Но в силу соглашения считать тождественными два индекса, если они отличаются друг от друга на и, будем иметь тождественно
п п Hn
S Vik = 2 Уиі Ъ+и 2 = 2 хіи 7Ii-H ?=1 І=І І=І i=i
и, следовательно,
п
0 = 2 &+і(!/«+і —у*) —(?+!-«|)].
<=1
Отсюда, так как разности ж<+1— yi+1 — yt являются проекциями вектора Qi+1 — Qi = Fi, тогда как Ьі+1, т\і+1 суть координаты точки Мі+1 на линии действия силы, приложенной в узле Pi, мы видим, что —о есть результирующий момент системы сил Fi относительно начала координат, в скалярном смысле, что подходит для плоского случая. Так как речь идет об уравновешенной системе, то непосредственно имеем о = 0.
В заключение мы можем сказать, что тем самым в пространстве определен многогранник Si» по крайней мере, с точностью до поступательного перемещения, перпендикулярного к ортографической плоскости, происходящего от произвольности выбора высоты одной из точек Sfti.
