Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Мы установили, таким образом, необходимость условий (4), (5), (6). Но они также и достаточны для равновесия, поскольку они обеспечивают его для любых частей нити, представляющих собой прямолинейные отрезки [что видно из равенства (4)] или элементы, содержащие P [что видно из равенств (5) и (6)] (при условии, что усилия Ф представляют собой натяжения).
В заключение мы имеем следующий результат: гибкая и нерастяжимая нить (на которую действуют силы в конечном числе
Фиг. 63. 196 гл. xiv. Статика стйрйснёвых систем, нйтей и тонких стёржней
точек) ведет себя в отношении равновесия как система, состоящая из твердых стержней, с одним лишь добавочным ограничением, заключающимся в том, что усилия должны быть только растягивающими.
Таким образом, статические вопросы, относящиеся к нитям, рассматриваются способом, изложенным выше для стержневых систем" однако здесь надо принимать во внимание дальнейшее качественное условие, относящееся к стороне, в которую действуют усилия.
Если для некоторой конфигурации мы установили, что все количественные условия выполнены, но некоторые усилия являются сжимающими, то надо заключить, что равновесие нити в этой конфигурации невозможно. Для обеспечения равновесия можно было бы, например, заменить некоторые части нити (сжимаемые) твердыми стержнями.
Конфигурация равновесия нити, как и конфигурация стержневой системы, называется веревочным многоугольником-, именно случай нити (практически веревки или цепи) и дал повод для такого названия.
37. Висячие мосты (реальный случай дискретной системы сил). В качестве простого примера рассмотрим канаты, поддерживающие
Pj
а
Фиг. 65.
р подвесной мост, и отыщем конфигурацию, " которая должна соответствовать состоянию равновесия.
Канаты закреплены на концах, а расположенная ниже проезжая часть моста прикрепляется к канатам посредством вертикальных тяг, равноотстоящих друг от друга.
Обозначим через P1 и Pn (фиг. 65) концы одного из двух канатов, через P2, P3, ..., P„_i точки прикрепления тяг.
Считая мост горизонтальным (с двумя поддерживающими канатами, расположенными симметрично), можно допустить, что вес P моста равномерно распределен между различными тягами, так что на каждую из них действует вес
P' =
2 (п — 2) '
Пренебрегая по сравнению с P' собственными весами канатов и тяг, каждый канат можно уподобить нити, закрепленной на концах P1, Pn и находящейся под действием (равных) весов, приложенных в промежуточных точках P2, P3, ..., P„_i.
Предположение, что тяги находятся на одинаковых расстояниях друг от друга, приводит к тому, что горизонтальные проекции различных частей P1Pa, P2P8, Р„_хРп каната должны быть равны между собой, так что если я есть длина моста, то общая § 7. гибкие и нерастяжимые нити
197
всем частям длина их проекций будет
п-1 '
Для определения веревочного многоугольника мы, очевидно, опять приходим к задаче, рассмотренной в пп. 11—12, поэтому можно утверждать, что весь канат будет лежать в вертикальной плоскости, проходящей через его концы.
Пользуясь опять обозначениями п. 12, мы будем иметь в этом случае два упрощающих обстоятельства: все р{ равны Pr, и горизонтальные проекции Iicos (Xi отдельных частей PiPijrl (г = 1, 2, ... ..., п — 1) каната также будут одинаковы и каждая из них будет равна є.
Вертикальные проекции ZjSinai можно выразить в форме I1 cos a< tg аг = є tg Cti, в то время как равенства (10), (10') принимают вид
tg«< = * + (*~1)J" (i=l, 2, ..., »_1), (38)
где <р есть постоянная по величине проекция на ось х усилий Фі,2, Фа,з, •••, Ф„-1,„, которые здесь представляют собой натяжения (п. 36). Теперь важно отметить, что если предположим ось X ориентированной так, чтобы абсцисса хп точки Pn была больше абсциссы X1 точки P1 (т. е. в сторону от P1 к Pn), то постоянная у будет существенно положительной. Действительно, из того, что каждая из сил Ф*,<н является растягивающей, и следует, что она направлена в сторону от Pi к Pj+1 (п. 5), так что постоянная горизонтальная проекция © различных сил Ф<,»+і могла бы быть отрицательной только в том случае, если бы абсциссы точек P1, P2, ..., Pn убывали (в алгебраическом смысле), что невозможно при условии Xn > Xv
Отсюда легко вытекает характеристическое свойство веревочного многоугольника, заключающееся в том, что его можно вписать в параболу с вертгькальной осью. В самом деле, для любой вершины Pi (і = 2, 3, ..., п) имеем
Xi-X1 — (г — 1)е,
Уі — Уi = e(tg«,+tga9 + ... +tga
(39)
как это получается, если спроектировать на обе оси ломаную линию P1P2 ... Pi и принять во внимание, что проекции ее равны
соответственно Xi-Xu у{-jz1. Внося во второе из равенств (39)
значения тангенсов, даваемые равенствами (12), получим 198 гл- xiv- статика. стержневых систем, нитей и тонких стержней'
или, подставляя вместо г — 1 и і — 2 значения, получаемые из первого из равенств (39),
Vi-Vi = ^=^ + ^0?-*!-")} 0=1, 2, ..., »). (40)
Отсюда заключаем, что координаты xi, у{ каждой точки Pi (і= 1, 2, п) удовлетворяют уравнению
