Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
(?)a+(!)4(?;=co»st;
одну из семи произвольных постоянных мы должны выбрать так, чтобы сделать правую часть равной единице. Таким образом, мы заключаем, что общий интеграл системы (42'), (44) зависит от шести произвольных постоянных, которые должны быть выбраны так, чтобы удовлетворялось столько же независимых условий; например, если в качестве условий на концах заданы силы Fa и Fb, то при проектировании на оси координат мы получим как раз шесть скалярных уравнений. Но в конкретных задачах в число i 1j. гибкие и нерастяжимые нити
203
данных не входят силы, приложенные к концам; обычно предполагается, что концы нити (имеющей длину I) прикреплены к двум данным неподвижным точкам А и В. В таком случае шесть произвольных постоянных должны быть определены так, чтобы функции х (s), у (s), з (s) при s = 0 и S = I были равны заданным координатам точки А и соответственно точки В; уравнения (43) служат тогда для определения реакций Fa и Fb в закрепленных точках.
43. Если нить, кроме непрерывно распределенной нагрузки, находится под действием конечных сил, приложенных в одной или нескольких внутренних точках, то условимся разбивать ее на части, на которые она будет делиться этими точками. Для каждой части продолжают сохранять свое значение предыдущие рассуждения; несколько сложнее будет определение постоянных (шесть для каждой части). Условий, которые должны быть удовлетворены в точках деления, будет также шесть для каждой точки: три условия выражают, что две части имеют общую точку, остальные три определяют равновесие этой точки, которая играет роль узла в веревочном многоугольнике.
44. Параллельные силы. В п. 11 мы видели, что веревочный многоугольник, в промежуточных узлах которого действуют параллельные силы, лежит в плоскости, содержащей общее направление сил. Отсюда мы заключаем, переходя к предельному случаю непрерывно распределенных сил, действующих по одному постоянному направлению, что веревочная кривая будет плоской кривой. Это заключение можно получить на основании уравнений (42'), предполагая одну из осей, например ось у, параллельной силам. Тогда имеем X = Z=O и из первого и третьего уравнений (42'), интегрируя по Si получаем
T^- = ф ds
где <р и С обозначают две произвольные постоянные; после этого, умножая первое из этих уравнений на dz/as, второе на dx/ds и почленно вычитая, получаем
п dx dg
откуда, интегрируя еще раз, находим
Cx — <?г = const;
это линейное уравнение между координатами х, з произвольной точки веревочной кривой и выражает то, что она лежит в плоскости, 204 гл. xiv. статика стержневых систем, нитей и тонких стержней
параллельной оси у, т. е. параллельной общему направлению активных сил. Уравнение это сводится к тождеству' в частном случае, когда (7 = 9 = 0. Этот случай можно оставить в стороне, заметив, что он содержит в себе один из следующих двух случаев: или Tt = O, и тогда, на основании уравнения (42), это означало бы обращение в нуль силы F; или dx/ds = dy/ds = 0, что означало бы прямолинейную веревочную кривую, имеющую то же направление, что и F; оба этих тривиальных случая мы будем предполагать исключенными. Поэтому во всех остальных случаях плоскость, содержащая веревочную кривую, будет определена; легко прямо придти к плоской задаче, если за координатную плоскость выбрать плоскость ху. Уравнение
сводится тогда к тождеству (постоянная С принимает частное значение нуль) и для определения кривой и растягивающего усилия остаются два уравнения
к которым надо присоединить уравнение, определяющее параметр s как дугу веревочной кривой
Постоянная как это видно из первого уравнения (45), является произвольной постоянной, о которой можно только сказать, рассуждая как и выше, что она отлична от нуля.
Механическое истолкование постоянной <р 0 вытекает непосредственно из первого уравнения (45): она равна проекции на ось X натяжения Т, откуда заключаем, что составляющая натяжения, нормальная к неизменному направлению действующей силы, постоянна вдоль веревочной кривой.
В этой формулировке мы видим предельный случай свойства, найденного в п. 12 для веревочных многоугольников; постоянная ® в обоих случаях имеет один и тот же смысл.
Заметим, наконец, что интегрирование системы уравнений (45), (46) вводит, кроме <р, три другие произвольные постоянные, как легко убедиться на основании обычного критерия (гл. II, п. 18 и гл. XlY, п. 42).
Для определения четырех произвольных постоянных остаются в силе соображения, которые приведены в п. 42 и 43, в применений к случаю плоской задачи.
(45)
(46) § 7. гибкие и нёрастяясикыё нити
205
45. Висячие мосты (упрощающее предположение о непрерывном распределении приложенных сил). В п. 37 мы изучили конфигурацию равновесия канатов, поддерживающих подвесные мосты, предполагая, что вес моста поровну распределен между некоторым конечным числом дискретных точек (точки прикрепления тяг). На основании такого предположения мы нашли, в качестве конфигурации равновесия каждого поддерживающего каната, многоугольник, вписанный в параболу с вертикальной осью, проходящей через концы каната.
