Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
187
Если многогранники g и g' спроектировать ортогонально на ортографическую плоскость, то получатся две фигуры F и F', взаимные в смысле, указанном в п. 26.
Действительно, сторонам, сходящимся в вершине одной фигуры, соответствуют в другой фигуре стороны, составляющие периметр многоугольника; кроме того, на основании последнего замечания предыдущего пункта будет выполняться условие, заключающееся в том, что соответственные стороны на обеих фигурах параллельны.
Важно отметить, что если один из двух многогранников, из которых мы исходили, например многогранник g', открытый и имеет контуром пространственный многоугольник, то фигура F' содержит в качестве проекции этого контура замкнутый многоугольник, но сторонам его отвечают на фигуре F столько же отрезков, которые, будучи параллельны соответственным сторонам многоугольника на фигуре F', не сходятся в одной и той же точке, потому что многоугольник фигуры F' в данном случае не получен в результате проектирования плоского многоугольника.
Это обстоятельство имеет место, в частности, для диаграммы „б" фермы. Сторонам (замкнутого) силового многоугольника соответствуют на диаграмме „а" внешние, прямо приложенные к узлам, силы, которые параллельны соответственным сторонам силового многоугольника, но, вообще говоря, не сходятся в одной и той же точке.
§ 6. Приложение в фермам
31. Чтобы видеть, какое применение находят предыдущие соображения в случае ферм, обратимся к простым треугольным фермам.
Как и в случае фиг. 60 (соответствующем предположению п = 6), обозначим, начинав от крайнего узла, через P1, P2, ..., Pn узлы произвольной простой треугольной фермы, взятые в одном из двух возможных порядков их следования на контуре. Предполагается, что к узлам фермы приложены внешние силы F1, F2, ..., Fn и система находится в равновесии.
Обозначим через M2, Ms, ..., Mn, M1 точки пересечения линий действия сил F1 и F2, F2 и Fs, ..., Fn_t и Fn, Fn HjF1iH рассмотрим сначала общий случай, когда линии действия сил, приложенных к двум последовательным узлам, непараллельны.
Отвлечемся временно от величины этих сил и представим себе, что к ферме присоединены треугольники P1P2M1, PJPsM2, ... ..., PnP1Mn; полученную таким образом диаграмму F, которая все еще состоит исключительно из треугольников (но не может уже называться простой), назовем веревочным многоугольником. При этом нужно обратить внимание на то, что на линии действия каждой силы, например на линии действия силы4 F^1 найдутся две такие 188 гл. xiv. статика. стержневых систем. нитей и тонких стержней
точки М, а именно: точки пересечения Mi и Mi+l с линиями действия сил Fi-1 и Fi+1, что каждый узел Pi будет находиться на одной прямой с соответствующими двумя точками Mi я Mi+х-Это будет справедливо для всех значений 1, 2, ..., п индекса і, если мы условимся, что индексы Они, 1 и »-f-1 эквивалентны между собою.
Такой веревочный многоугольник F можно рассматривать бесконечным множеством способов как ортогональную проекцию на плоскость (которую мы примем за ортографическую плоскость 0 = 0) многогранника S с треугольными гранями. Для этого достаточно принять за вершину многогранника соответствующую каждой отдельно взятой точке М, произвольную точку ЇЇІ перпендикуляра в точке Mi к ортографической плоскости. Тогда, так как точка Pi находится на одной прямой с точками Mi и Mi+1, если мы хотим сохранить это свойство для соответствующих точек поверхности точка ^pi должна быть определена в плоскости, проектирующей прямую SK1 9?+1, как точка пересечения этой прямой с перпендикуляром к ортографической плоскости в Pi. Этот способ нельзя применять только тогда, когда точки Mi и Mi+1 совпадают; но в этом случае точку можно взять произвольно на перпендикуляре к ортографической плоскости, восставленном из Pi.
Таким образом, каждый треугольник веревочного многоугольника (будь то треугольник фермы или один из присоединенных треугольников Pi_1PiMi) является проекцией одной грани (треугольной) многогранника g. Следует, однако, предупредить, что такое построение не всегда выполнимо, когда речь идет о ферме, имеющей нетреугольное звено; когда это возможно, то необходимо соблюдать некоторую осторожность в выборе вершин многогранника, следя за тем, чтобы вершины, которые проектируются в узлы одного и того же звена, лежали в одной плоскости.
Возвращаясь к фигуре g, рассмотрим полярную ей фигуру относительно нулевой системы, имеющей центральную ось, перпендикулярную к ортографической плоскости. Мы знаем, что ортогональная проекция F' фигуры на ортографическую плоскость будет взаимной с F в смысле, разъясненном в п. 26. В частности, сторонам M1M2, M2Ms, ..., MnM1, расположенным на линиях действия сил F1, F2, ..., Fn, отвечают отрезки Q1Q2, Q2Q3, ..., QnQ1, соответственно им параллельные. Но если фигура % была построена произвольно, т. е. если высоты точек SJti относительно ортографической плоскости были взяты произвольно, то нет основания для того, чтобы многоугольник Q1Q2 ••• Qn был силовым многоугольником для сил Fi. Мы покажем здесь, что, выбирая подходящим образом высоты отдельных точек Tti, можно добиться того, чтобы действительно указанный многоугольник был силовым многоугольником, т. е. чтобы ориентированные отрезки Q1Q2, Q2Q3, . •., QnQu параллельные силам F1, F2, ..., Fn, были также равны им § 6. приложение к фермам
