Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
и расстояние а (длина моста или пролет поддерживающих канатов). Обе точки А, В, очевидно, симметричны относительно оси у параболы, так что их абсциссами соответственно будут + а/2. Поэтому на основании уравнений для концов (43) и равенства (49) заключаем, что обе реакции Fa, Fb в закрепленных точках по абсолютной величине равны
/
і
Разница в уровнях между концами каната, с одной стороны, и его низшей точкой, с другой, называется стрелой провеса; обозначая стрелу провеса через f и замечая, что она есть не что иное, как общая ордината точек А и В, найдем, полагая в уравнении (48) ж =
f-^' <«0
это и есть та формула, важная вследствие ее технических приложений, о которой мы упоминали в п. 45.
Остается еще определить соотношение, связывающее механическую постоянную <р с данными вопроса, т. е. с величинами рва и длиной I каната. Очевидно, что I определяется длиной дуги параболы (48), заключенной между точками А в B-, если ввести, на основании уравнения (46), элемент дуги ds веревочной кривой, то I примет вид
'-»Г/ї+Ш*.
о
где радикал должен браться в арифметическом смысле, а производная dy/dx должна быть вычислена на основании уравнения (48). Таким образом, получится
0/2__
1 = 2 f у 1 +^aPdx,
или, если положить \L=pxj(.р,
pafif
P
l=J~S Vl + v-2^; (50)
о
отсюда, в' поминая элементарную формулу интегрирования 2 /VrIzFi^dlI = In(Ji+ Vl+tf) + V- /l + H2, заключаем, что i 1j. гибкие и нерастяжимые нити
209
Из этой формулы, или, проще, из формулы (50), можно получить приближенное выражение длины I, пригодное всякий раз, когда ра/у (отношение между полной нагрузкой и горизонтальной составляющей <р натяжения, равной горизонтальной составляющей каждой из сил, приложенных на концах) будет достаточно малым, например таким, четвертой степенью которого можно было бы пренебречь, как это вообще делается в технических задачах.
Так как переменная интегрирования ^ остается всегда меньше, чем ра/2<р, то с тем большим основанием можно пренебречь степенями ft, начиная с четвертой. Поэтому если применим разложение в ряд Тэйлора к выражению —J— ji.2 = (1 —J— то можно будет остановиться на втором члене, опуская остаток, содержащий МНОЖИТелеМ [А4.
Подставляя 1 -j- [i2/2 вместо Y1 + P2, получим
pa/3 ip
1==р2I о+и^
О
откуда будем иметь приближенное выражение
<—(' + ?)• О»)
50. Однородная цепь. E задаче, изученной в предыдущих пунктах, присоединим задачу об определении конфигурации равновесия материальной однородной нити, подвешенной за концы в двух заданных точках А и В (не расположенных на одной и той же вертикали) и подвергающейся только действию силы тяжести.
В этом случае все внешние силы также вертикальны, так что (п. 44) веревочная кривая будет лежать в вертикальной плоскости, проходящей через точки А и В; предположим, как в п. 46, что ось у направлена вертикально вверх, а ось х — так, чтобы абсцисса точки В была (алгебраически) больше абсциссы точки А, и сначала оставим положение начала произвольным.
Сила, приходящаяся на единицу длины нити, представляет собой вес (постоянный, так как речь идет об однородной нити) части нити длиной 1. Обозначив через р величину этой силы, будем иметь X = O, Y=—p; поэтому уравнения равновесия (45) п. 44 в рассматриваемом случае будут иметь вид
гг dx
± (т -»• (52)
ds V ds) P'
постоянная ? при указанной выше ориентировке осей, как и в общем случае в п: 44, должна быть положительной. 210 ГЛ. XIV. СТАТИКА. СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ, НИТЕЙ И ТОНКИХ СТЕРЖНЕЙ
Исключая T из второго уравнения при помощи первого, по-
где dy/dx означает отношение между приращениями координат вдоль веревочной кривой, соответствующее приращению ds дуги. Принимая абсциссу х за независимую переменную, а ординату у — за функцию, можно придать только что найденному соотношению вид дифференциального уравнения только между координатами X, у точек веревочной кривой.
Если мы напишем для краткости у' вместо dy/dx и заметим,
что ds можно заменить через У1-J- г/'2 dx, то, умножая на dx,
Если производную у' рассматривать как вспомогательную неизвестную, то равенство (53) будет дифференциальным уравнением первого порядка с разделенными переменными, которое интегрируется непосредственно и дает
пользуясь свободой выбора начала осей (у которых неизменны только направления), постоянную интегрирования можно свести к нулю, перенося ось у поступательно в направлении, параллельном оси X, так чтобы она (ось у) прошла через точку, в которой касательная к веревочной кривой горизонтальна, т. е. у' = О (мы увидим, что существует только одна такая точка и она будет как раз точкой минимума).
Таким образом, получим
лучим
jLfihCS — P.
ds \dx J у '
получим
(53)
In (Vl + у'2 + у') = S- X + const;
In (V7+7* + y') = Z.x,
или, переходя от логарифмов к числам,
У1 + у'* + у'^eipM*.
(54)
Отсюда, принимая во внимание тождество
{Vl + y'* + y'){Vl + y'*-y') = l,
выводим
i 1j. гибкие и нерастяжимые нити
211
это уравнение в результате вычитания из уравнения (54) и сложения с ним дает
