Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 1" -> 76

Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.

Леви-чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 1 — Москва, 1952. — 326 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriticheskoyfiz1952.djvu
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 134 >> Следующая


185

Для точки Р, лежащей на оси, полярная плоскость перпендикулярна к самой оси, т. е. параллельна плоскости ^ = О, которую мы будем называть далее ортографической плоскостью. Если, наоборот, точка P лежит вне оси, то момент М, как геометрическая

сумма вектора M0, параллельного оси г, и вектора PO X В, параллельного ортографической плоскости, не будет ни параллельным, ни перпендикулярным к центральной оси, так что то же самое будет иметь место и по отношению к полярной плоскости ТГ. Если точка P неограниченно удаляется от оси в каком-нибудь одном

направлении, то вектор PO X В, возрастая по величине, будет все больше превосходить постоянный вектор M0, так что полярная плоскость будет стремиться расположиться параллельно центральной оси, т. е. перпендикулярно к ортографической плоскости.

Обратно, если задана плоскость от, не параллельная оси, то ее полюс P определится как такая точка, относительно которой момент системы 2 будет перпендикулярен к тт. Предоставляем читателю показать, обратившись к равенству (30), что полюс будет таким образом однозначно определен и будет находиться на конечном расстоянии. Построение показывает также, что полюс неограниченно удаляется в определенном направлении, когда плоскость тг стремится принять определенное положение, параллельное оси.

Для всякой точки P автополярные прямые можно определить, согласно сказанному в п. 27, как прямые, перпендикулярные к соответствующему моменту Ж, т. е. как такие прямые, проходящие через Р, относительно которых (осевой) момент системы 2 будет равен нулю.

Несколько труднее выяснить, каково, с принятой здесь точки зрения, характеристическое свойство взаимно полярных пар прямых г и г'. Для этой цели удобно обратиться к следующему свойству систем приложенных векторов, которое мы уже предлагали доказать в виде упражнения (гл. I, упражнение 13) и которое мы напомним здесь для удобства читателя. Как бы ни была выбрана прямая г, лишь бы она не была параллельна центральной оси данной системы E приложенных векторов и не была прямой с нулевым (осевым) моментом, систему 2 можно привести к двум векторам V, v', у первого из которых линией действия является прямая г, а у второго— вполне определенная (соответствующая г) прямая Для доказательства возьмем на прямой г какую-нибудь точку P (на конечном расстоянии) и обозначим через M соответствующий результирующий момент и через it — плоскость, перпендикулярную в точке P к вектору M (т. е. полярную плоскость точки Р), которая в силу установленных предположений не будет параллельна центральной оси (потому что точка P находится на конечном расстоянии) и не будет проходить через г (потому что г не является прямой нулевого момента, т. е. автополярной). Если векторы v и v' являются ige гл. xiv. статика. стержневых систем нитей и тонких стержней

составляющими силы JR по прямой г и соответственно b плоскости тг, то вторая составляющая не будет, конечно, равна нулю, так как прямая г не параллельна вектору Jt, и потому в плоскости тг всегда будет существовать одна, и только одна, прямая г', такая, что если ее принять за линию действия вектора v', то последний будет иметь моментом относительно точки P вектор Ж. Таким образом, система, состоящая из двух приложенных векторов (v на г) и (г/ на г'), будет эквивалентна системе 2. Не может существовать другой системы (V на г) и (^1 на ^1), тоже эквивалентной 2, с прямой ги отличной от г'; действительно, так как система векторов

(V на г), (V' на г'), (—v на г), (—V1 на T1)

должна быть эквивалентна нулю, то два вектора (г?' на г'), (— V1 на T1), взаимно уравновешиваясь, прямо противоположны друг ДРУГУ-

Теперь легко видеть, что две прямые г я г будут между собой полярны. Достаточно показать, что как для точки Р, так и для всякой другой точки Q прямой г полярная плоскость проходит через г'. Это неносредственно следует из того, что результирующий момент системы векторов (v на г) и (г/ на г') относительно точки Q сводится к моменту вектора (г/ на /) и поэтому перпендикулярен к плоскости Qr'.

Если прямая г стремится расположиться параллельно центральной оси, то составляющая г/ стремится к нулю, так что соответствующее плечо, т. е. расстояние прямой г' от Р, стремится к бесконечности; таким образом, поляра прямой, параллельной центральной оси, является несобственной прямой.

Заметим, наконец, что если две полярные нрямые гиг' (собственные и потому обе непараллельные оси) спроектировать ортогонально на ортографическую плоскость, то получатся две параллельные прямые. Действительно, плоскость, проектирующая какую-нибудь одну из них, поскольку она параллельна оси, имеет в качестве полюса несобственную точку другой прямой. Поэтому каждая из двух прямых г и г' параллельна плоскости, проектирующей ортогонально другую прямую на ортографическую плоскость, что и доказывает высказанное выше утверждение.

30. Пространственное построение плоских взаимных фигур. После этого геометрического отступления обратимся к нашей задаче. Рассмотрим в пространстве многогранник $ (который может быть и открытым) и соответствующий ему полярный многогранник S' относительно любой нулевой системы (30). Обе фигуры будут находиться между собой в таком соответствии, что каждой вершине, грани или ребру одной фугуры будет отвечать на другой соответственно грань, вершина или ребро. § 8. приложение к фермам
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 134 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed