Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Этот многогранник имеет:
1) ортогональной проекцией „на ортографическую плоскость веревочный многоугольник, составленный из фермы и линий действия прямо приложенных сил;
2) полярной фигурой относительно нулевой системы (с осью, перпендикулярной к ортографической плоскости) фигуру F', которая проектируется на эту плоскость в виде диаграммы внешних сил и внутренних усилий; на диаграмме произвольно заданным является положение одной из вершин многоугольника внешних сил.
32. Для полноты рассмотрим случай, когда какая-нибудь прямо приложенная сила параллельна одной из двух смежных сил, так что соответствующая точка M уходит в бесконечность; надо заметить, что для практики этот случай наиболее важен, так как он имеет место для всех прямо приложенных сил, когда речь идет о фермах, подвергающихся исключительно действию вертикальных сил в узлах.
Легко видеть, что построения и рассуждения предыдущего пункта распространяются, с очевидными изменениями, также и на этот случай.
Пользуясь обозначениями предыдущего пункта, предположим, что Fj есть первая из прямо приложенных сил, параллельная смежной с ней силе Fj+1, так что Mj+1 есть первая из точек М, которая уходит В бесконечность. Для предыдущих точек M1, M2, ..., Mj 192 гл- xiv- статика. стержневых систем, нитей и тонких стержней'
можно предположить, что соответствующие им вершины 2?!, StR2, ..., iSlj многогранника построены способом, указанным в предыдущем пункте. Что же касается несобственной точки Mj+U то если ccj, pj по прежнему обозначают направляющие косинусы силы Fj (и, следовательно, также силы Fj+l), то ее можно рассматривать как предельное положение точкй с координатами potj, ppj, когда р стремится к бесконечности; высоту С/+і точки Щ+и проекцией которой на ортографическую плоскость является точка Mj+1, можно выразить в виде p'/j+i, где величина Xj+i произвольна.
Вследствие этого уравнение (33), для значения j индекса і, если обе части этого уравнения разделить на р и заставить р стремиться к бесконечности, в пределе принимает вид
— Чз+i = »?y —!/?; если сравним его с уравнением (31) при i=j, т. е. с уравнением
PjX- CCjy+ Pj= 0 (37)
прямой QjQj+г, то увидим, что
jcXui = Pj-
Таким образом (посредством своих однородных координат aj -? -Xj+1 -0) определена та несобственная точка SPi_,+1, полярная плоскость которой (параллельная оси) пересекает полярную плоскость точки SKj по прямой, имеющей проекцией на ортографическую плоскость прямую QjQj+v Так как лежит в своей полярной плоскости, перпендикулярной к ортографической плоскости и пересекающей ее вдоль прямой QjQj+1, то этим подтверждается, что Mj+t (несобственная точка этой последней прямой) есть ортогональная проекция (на плоскость я = 0) точки
Если, далее, и точка Ж/+2 является несобственной, что равносильно тому, что сила Fj+2 параллельна двум предыдущим, то сторона Qj+qQj+з многоугольника внешних сил будет идти по прямой двух предыдущих сторон QjQj+i, Qj+i,Qj+2, т. е. она также будет лежать на прямой, выражающейся уравнением (37), и точка Mj+2 совпадет с Mj+1.
Для того чтобы и в этом случае общее построение привело к этой прямой (37), необходимо и достаточно, чтобы она была следом полярной плоскости (перпендикулярной к ортографической плоскости) точки 3J{j42. Другими словами, необходимо и достаточно, чтобы Щ+2 совпадала с определенной ранее несобственной точкой SWy41. Так продолжаем до тех пор, пока встречаются несобственные последовательные точки М, т. е. параллельные прямо приложенные силы.
33. Мысль обратиться к пространственным построениям для того, чтобы связать две диаграммы „а" и „б", соответствующие § 7* гибкие и иерл-отяжимыё нити
193
любой неизменяемой ферме без лишних стержней, принадлежит Максвеллу1), который, впрочем, пользовался не нулевой системой, а полярностью относительно параболоида вращения с осью, перпендикулярной к ортографической плоскости. Теория взаимных диаграмм Максвелла строится аналогично теории, указанной в предыдущих пунктах; при этом, однако, имеется то неудобство, что плоские диаграммы, к которым приходят таким путем, хотя и взаимны в смысле п. 26, но не обладают свойством параллельности между соответствующими сторонами. Стороны, соответствующие друг другу на обеих диаграммах в силу полярности относительно параболоида, будут взаимно перпендикулярными. Если мы примем во внимание, что главной целью этих способов является определение усилий, направление которых уже установлено стержнями фермы, так что для каждого из них требуется определить лишь величину и сторону действия, то станет очевидным, что ориентация диаграммы „б" относительно диаграммы „а" не имеет существенного значения. Но несомненно более наглядную связь между двумя диаграммами дает диаграмма „б" с той ориентацией, к которой мы приходим прямым методом (п. 26).
Что этого можно достичь путем обращения к нулевой системе, впервые было доказано Кремона2) в его мемуаре ,,Le figure reci-proche nella Statica grafica" 3).
§ 7. Гибкие и нерастяжимые нити
34. Определение и характеристический постулат. Рассуждения, подобные тем, которые были применены в § 2 к односвязным стержневым системам, позволяют рассмотреть задачу о равновесии гибкой и нерастяжимой нити. Под этим названием подразумевается всякая материальная система одного измерения (см. гл. X, п. 5), обладающая следующий свойствами:
