Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Пронумеруем узлы с 1 до 6, начиная с одного из двух крайних узлов (в которых сходятся только по два стержня) и обходя ферму против часовой стрелки; обозначим четыре треугольника, начиная с первого, через Т, T', Т", T'". На фиг. 60 представлены также внешние силы F1, F2, ..., F6, приложенные соответственно к узлам P1, P2, ...,P6. Построенную таким образом диаграмму можно назвать, обобщая название, которым мы пользовались в случае просто связных систем, веревочным многоугольником (п. 5).
Покажем, как и в этом случае, в дополнение к веревочному многоугольнику (или диаграмме „а" Кремона), можно построить і78 Гл. xfv. статйка. стержневых систем, нитей и тонких стержней
силовой многоугольник (или диаграмму „б" Кремона), который представляет внешние силы F вместе с усилиями Ф, действующими на отдельные стержни фермы.
Для этой цели построим, начиная от какой-нибудь точки Q1, многоугольник Q1Q2.. .Q6 (фиг. 61) приложенных сил Fu F2,..., F6, который, если речь идет об уравновешенной системе сил, необходимо будет замкнутым, и затем обратимся к одному из двух крайних узлов, например к узлу P11).
Для равновесия точки P1 необходимо, чтобы сила Fi уравновешивалась двумя усилиями Ф1>2, Фі,б, действующими на узел P1 вдоль стержней, сходящихся в P1. Если через точки Q1, Q2 проведем две прямые, соответственно параллельные двум (пересекающимся) прямым P1P6, P1P2, то на основании Q1Q2 получится треугольник, две другие стороны которого и представят по величине и направлению соответствующие усилия. Для того чтобы видеть, в какую сторону они направлены, достаточно обойти контур треугольника, начиная обход с силы .F1,
!) На фиг. 61 для ясности многоугольник Q1Qf-Qe приложенных сил увеличен в три раза по сравнению с предыдущей диаграммой „а".
Фиг. 61. і 4. равновесие неизменяемой системы ВЁз лишних стержней
179
в направлении этой силы. Обозначим третью вершину треугольника той же самой буквой Т, которой мы обозначили первый треугольник фермы. Мы скоро увидим, какое теоретическое значение имеет это соглашение. Тогда усилия Фі,2, Фіі6 будут представлены по величине, направлению и стороне соответственно отрезками Q2T, TQ1. Заметим, что на фиг. 61 каждое из этих усилий (так же как и усилия, которые далее будут последовательно определяться) удобно обозначить соответствующей парой индексов, взятых в надлежащем порядке, вместе со стрелкой, указывающей надлежащую сторону.
После этого перейдем к рассмотрению того из двух узлов, смежных с узлом P1, в котором сходятся только три стержня (а не четыре), т. е., в нашем случае, узла Pa (а не P6). Из четырех сил, действующих на P2 (и уравновешивающихся между собой), уже известны сила F2 как заданная (и представленная отрезком QaQs) и усилие Фад как противоположное усилию Фі,2 (и поэтому представленное отрезком TQ2); для двух других усилий Ф2,з, Фг.б известны только линии действия их P2Ps, P2Pq- Поэтому если из точек Q3 я T проведем прямые, соответственно параллельные (пересекающимся между собой) прямым P2P3, PqP2, и обозначим их точку пересечения той же самой буквой T', которая обозначает второй треугольник фермы, то на основании условия равновесия узла, P2 заключим, что усилия Фа,:!, Фа,в будут представлены соответственно отрезками Q3T' и T T не только по величине и направлению, но также и по стороне (сторона каждого из ориентированных отрезков Q3T' и Т'Т определяется направлением обхода четырехугольника Q2Q3TT', в предположении, что этот обход начинается со стороны Q2Q3 и производится в направлении силы F2).
Надо заметить, что три прямые, выходящие из точки T диаграммы, которую мы строим, соответственно параллельны трем сторонам треугольника, входящего в состав веревочного многоугольника и обозначенного той же самой буквой Т; мы сейчас увидим, что такое же соответствие имеется между построенной уже точкой T' и точками Т", T'", которые мы сейчас будем строить, с одной стороны, и треугольниками T, Т", T'" веревочного многоугольника, с другой стороны.
Чтобы продолжить построение, нужно перейти не к узлу P3, следующему за P2 в направлении обхода фермы, а к узлу P6, В этом узле сходятся четыре стержня и, следовательно, действуют пять сил, а именно: сила F6 и четыре усилия Ф6,і, Ф6,2, Ф6,3, Фв,5. Из этих сил известны прямо приложенная сила F6 как одна из данных сил и усилия Ф6,ь Фб,2 как противоположные усилиям Фі.е, Фа,е. Для двух других усилий указаны линии действия P6P3, P6P6, так что достаточно провести прямые, параллельные этим двум прямым (пересекающимся между собой), соответственно через T' 180 гл. xiv. статика. стержневых систем. нитей и тонких стержней
и Qs, чтобы получить направленные отрезки Т'Т", T"QS, представляющие по величине, направлению и стороне усилия Ф6,з, Фв,5.
Очевидно, что для продолжения построения нужно перейти к узлу P8; достаточно рассмотреть равновесие этого узла (с последующим определением точки T'", соответствующей четвертому треугольнику фермы), чтобы закончить построение силового многоугольника; в качестве контроля точности построения может служить то обстоятельство, что ориентированный отрезок Q6T'", представляющий собой усилие Ф4>5, должен быть параллелен стержню
