Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
(Xi — Xjf + (у{ — yjf =I% (і, j=l, 2, ..., пф a, ?). (12)
А для того чтобы из этой системы т — 1 уравнений можно было определить 2 (п — 2) неизвестных Xi, Iji, необходимо и достаточно, вообще говоря, чтобы было т —1=2(? — 2), т. е.
т = 2п — 3. (13)
Из этого условия вытекает, между прочим, как необходимое следствие, что в соответствующей неизменяемой ферме без лишних стержней имеется, по крайней мере, один узел, из которого выходит не более трех стержней. Действительно, если из каждого из п узлов выходило бы больше трех стерлгней, то полное число т их было бы не меньше чем 4та/2 = 2п, вопреки равенству (13). Подобным же образом из равенства (13) следует, что если п <(5, то, но крайней мере, из одного из узлов фермы выходят только два стержня.
14. Как уже было замечено, условие (13), к которому мы пришли путем сопоставления числа неизвестных и числа уравнений, достаточно для обеспечения неизменяемости системы только во-обще, т. е. при условии, что т—1 = 2 (и — 2) уравнений (12) являются совместными и независимыми друг от друга; для этой цели достаточно, как известно, чтобы не был тождественно равен 1(54 ГЛ. XIV. СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ, НИТЕЙ И ТОНКИХ СТЕРЖНЕЙ
нулю якобиан J левых частей уравнений (12) 110.?, IJi (при » = 1, 2, ..., п, за исключением а и ?).
Когда это условие не имеет места, решетчатая система, даже в предположении, что уравнение (13) удовлетворяется, может оказаться изменяемой. В качестве примера представим себе полный плоский четырехугольник с лишним стержнем, шарнирно соединенным одним концом с какой-нибудь вершиной четырехугольника. Уравнение (13) удовлетворяется, так как имеется пять узлов и семь стержней, тогда как система очевидно является изменяемой.
Но бывают также исключительные, или, как мы будем говорить, особые случаи в некоторой степени противоположного свойства, когда ферма неизменяема и не имеет лишних стержней и все же уравнение (13) не удовлетворяется. Чтобы дать наиболее простой пример такой фермы, рассмотрим систему, составленную из п > 3 узлов P1, P2, • • •, Pn и w стержней P1P2, P2P8, ..., PnP1. Если длина каждого из стержней будет меньше суммы длин остальных п — 1 стержней, то мы будем иметь простой многоугольник, очевидно, изменяемый; но если, например, длина In стержня P1Pn равна сумме длин ZiO-=I, 2, ..., п—1) остальных п — 1 стержней, то система может иметь узлы только на прямой P1Pn; в этой своей единственно возможной конфигурации она будет неизменяемой, между тем как числа узлов и стержней, оба равные и > 3, не удовлетворяют условия (13). Другие менее тривиальные примеры ферм, особых в указанном смысле, будут приведены после общих соображений, которые мы изложим в следующем пункте.
15. Заметим, что можно заранее предвидеть, каково может быть происхождение таких особых случаев. Действительно, в области вещественных чисел, которой мы здесь и должны ограничиться, существуют такие случаи систем уравнений, когда число неизвестных больше числа уравнений и все же все неизвестные могут быть однозначно определены. Простым примером этого может служить уравнение ж2 4" у2 = 0, имеющее корни х = О, у = 0.
Обратимся к исследованию возможности указанных выше особых типов ферм; для этой цели рассмотрим какую-нибудь систему т уравнений
А = Z2 = о,..., Zm = O (14)
с N неизвестными ги Z2,..., zN. Предположив т < N, допустим, что система удовлетворяется некоторыми N значениями неизвестных, причем эти значения всегда можно предположить приведенным к г, = 0 (v = 1, 2,..., Л7); пусть в окрестности этого решения функции fh можно разложить в ряд Маклорена. Выставляя на вид члены первого порядка, будем иметь
N
fh = S + Jph (h = 1, 2,..., т), (16)
V = I § s. геометрическое исследование плоских решетчатых балок 165
где аГп суть постоянные, тогда как Fh означают такие функции, разложения которых в степенные ряды по Z4 начинаются с членов степени не ниже второй.
Если якобиева матрица от функций fh по Z4 при z4 = О (v = l, 2,..., N), т. е. матрица
«11 aJ2 . • . aiN
«21 «22 • • • d-lN (16)
ат1 ат2 • • • а тії
будет ранга т, то система (14) будет однозначно разрешимой относительно т неизвестных из .?.„ а остальные N — т неизвестных останутся неопределенными.
Рассмотрим здесь случай, когда матрица (16) имеет ранг, меньший т. При этом предположении между т линейными формами, составленными из членов первого порядка отдельных функций (15), будет существовать, по крайней мере, одно тождественное соотношение (с коэффициентами, не равными одновременно нулю)
т N
2 и-/* 2 aJn — о,
Й=1 V = I
которое, если предположим для определенности, ЧТО \>-т 5; О, можно написать в виде
N т-1 N
2 ат, Z4 4- 2 h 2 ah4z4 = 0. (17)
V=I h=l V = I
Отсюда следует, что функция
от-1
/от+ 2 hfh ft=і
не имеет членов первого порядка, так. что мы будем иметь
т—1
ImjT 2 = ? + (18)
A = 1
где <р означает некоторую квадратичную форму относительно Z4
1 N
? = ~2 2 Ь Z4 z (19)
V, P = I
a ^ есть функция, разложение которой в степенной ряд no Z4 начинается с членов, но крайней мере, третьего порядка.
