Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Действительно, если представим себе, что на стержневую систему P1P2 ... Pn в узлах P1, P2, ..., Pn действуют силы, эквипол-
лентные векторам Q1Q2, Q2Qa, ¦•¦> QrtQ1, ив качестве усилий Ф1?2,
Ф,
3,3,
Ф
п-1,п
соответственно принимаются векторы Q2Qu Q3Q1, ..., QnQ1, то, на основании сделанных допущений о двух і S. ОДЯОСВЯЗНЫЕ СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ
159
многоугольниках, будут непосредственно выполняться условия (5) и (6), необходимые и достаточные для равновесия стержневой системы.
10. Доказанное таким образом характеристическое свойство силового многоугольника позволяет, как мы об этом уже говорили, решать. посредством геометрических построений задачи, относящиеся к равновесию односвязных стержневых систем.
Для того чтобы дать типичный пример приложения этого метода, рассмотрим стержневую систему P1P2 • • • Рп> прикрепленную на конце P1 к неподвижному шарниру и имеющую свободными другой конец и промежуточные узлы (за исключением лишь связей, происходящих от соединения их со стержнями). Представим себе, что к п — 1 узлам P2, P3, ..., Pn приложены заданные силы F2, Fi, ..., Fn, и определим веревочный многоугольник (или конфигурацию равновесия системы) и реакцию в неподвижном конце P1.
Прежде всего силовой многоугольник можно построить непосредственно, откладывая один за другим, начиная от произвольной
точки Q2, приложенные векторы Q2Q3, QaQi, .. •, QnQ1, соответственно эквиполлентные векторам F2, Fs, ..., Fn; после этого замыкающий вектор Q1Q2 представит по величине, направлению и стороне реакцию F1 в неподвижной точке.
Что же касается веревочного многоугольника, то вспомним, что его стороны должны быть параллельны соответственно отрезкам QzQu QiQu • • ¦> QnQi- Поэтому, начиная с закрепленной точки P1, мы должны направить первый стержень P1Pa параллельно Q1Q2 в ту или другую из двух возможных сторон; эта неопределенность в выборе стороны будет сохраняться до тех пор, пока мы не будем знать заранее, должно ли быть усилие Ф1;2 растягивающим или сжимающим. Определив P2, мы получим положение точки P8, направив стержень P2P3 параллельно Q3Q1 (в ту или другую сторону в согласии с только что сказанным о характере усилия Ф1>2); так нужно поступать до тех пор, пока, направив стержень Pn_tPn параллельно QnQ1 (в ту же самую сторону или в противоположную), мы не получим положение равновесия свободного конца Pn.
11. Параллельные силы. Менее просто, чем в предыдущем случае, выполняется геометрическое построение веревочного многоугольника, когда стержневая система прикреплена (посредством шарниров) к неподвижным точкам на обоих концах P1, Pn и задаются силы, приложенные в п— 2 промежуточных узлах. Здесь мы ограничимся рассмотрением этой задачи в том случае, когда W — 2 силы F2, Fs, ..., Fn_1 параллельны и направлены в одну и ту же сторону (фиг. 49); заметим, что это частное предположение заслуживает рассмотрения потому, что оно осуществляется в случае, 160 гл. xiv. СТАТИКА. СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ. НИТЕЙ И ТОНКИХ СТЕРЖНЕЙ
когда внешние силы, действующие на систему, представляют собой силы тяжести.
Прежде всего легко убедиться, нто, независимо от того, закреплены концы или нет, в том случае, когда в системе сил, приложенных к узлам и способных поддерживать равновесие, силы, прямо приложенные к промежуточным узлам, параллельны (и направлены в какую угодно сторону), силовой многоугольник будет плоским.
В самом деле, в этом случае стороны Q2Q3, Q3Q4, ..., Qn-iQn силового многоугольника будут лежать на одной прямой, так что, каково бы ни было положение оставшейся вершины Q1, приложенные
ВвКТОрЫ Q2Q1, о2>1, ..., оХ
фиг- 49. представляющие собой усилия,
будут компланарны, а поэтому такими же будут и стороны P1P2, P2P3, Р„_1РИ веревочного многоугольника, поскольку они должны быть параллельны усилиям.
12. Предположим теперь опять, что оба конца P1, Pn стержневой системы закреплены, и, рассматривая п—2 параллельные силы как веса, обозначим величины их через р2, р%, ..., рп-\.
Для того чтобы определить силовой многоугольник, будем идти аналитическим путем. Возьмем в вертикальной плоскости, проходящей через точки P1 и Pn, в которой должен лежать веревочный многоугольник (см. предыдущий пункт), декартову систему осей Oxy
Уп
-длины стерж-
с осью у, направленной вверх, и обозначим через X1, у1 и
и -1"
координаты точек P1, Pn, а через I1, I2, ней P1P2, P2Pg, Р»-Ij -Pji-
За главные неизвестные задачи примем углы аи а2, ..., <хп_и которые эти стержни (каждый из них направлен в сторону обхода веревочного многоугольника от P1 к Pn) образуют с направлением оси х; заметим при этом, что для определения их мы должны воспользоваться уравнениями равновесия (5) и (6). Обратим внимание только на неопределенные уравнения
Fi-Фг--ьі + фм+і = 0 (* = 2, 3, ..., п — 1), так как уравнения (6) служат лишь для определения двух последних неизвестных (сил F1 и Fn, приложенных к закрепленным узлам P1 и Pn) и не влияют на форму многоугольника. § 2. односвязньтё стержнквыё системы
15?
Далее, уравнения (5) (представляющие собой п— 2 векторных уравнений в плоскости) переходят в 2 (и — 2) скалярных уравнений между горизонтальными и вертикальными проекциями. Так как горизонтальные проекции сил Ф, равны нулю, то, проектируя уравнения (5) на ось х, мы увидим, что усилия ФЬ2, Ф2;3, ..., Ф„_1)Я все имеют одинаковые горизонтальные проекции.
